与えられた等式 $\frac{1}{\sqrt{5}+1+\sqrt{6}} = \frac{\boxed{オ} + \sqrt{5} - \sqrt{30}}{\boxed{カキ}}$ を満たすような$\boxed{オ}$と$\boxed{カキ}$を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた等式 $\frac{1}{\sqrt{5}+1+\sqrt{6}} = \frac{\boxed{オ} + \sqrt{5} - \sqrt{30}}{\boxed{カキ}}$ を満たすような$\boxed{オ}$と$\boxed{カキ}$を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、分母を有理化します。$\sqrt{5}+1+\sqrt{6} = (\sqrt{5}+1)+\sqrt{6}$と考え、$\sqrt{5}+1-\sqrt{6}$を分子と分母にかけます。

$\frac{1}{\sqrt{5}+1+\sqrt{6}} = \frac{1}{(\sqrt{5}+1)+\sqrt{6}} \times \frac{(\sqrt{5}+1)-\sqrt{6}}{(\sqrt{5}+1)-\sqrt{6}}$

$= \frac{\sqrt{5}+1-\sqrt{6}}{(\sqrt{5}+1)^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{\sqrt{5}+1-\sqrt{6}}{(5+2\sqrt{5}+1)-6} = \frac{\sqrt{5}+1-\sqrt{6}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}+1-\sqrt{6}}{2\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

$= \frac{5+\sqrt{5}-\sqrt{30}}{10}$

したがって、$\frac{1}{\sqrt{5}+1+\sqrt{6}} = \frac{5+\sqrt{5}-\sqrt{30}}{10}$

$\frac{1}{\sqrt{5}+1+\sqrt{6}} = \frac{\boxed{オ} + \sqrt{5} - \sqrt{30}}{\boxed{カキ}}$ と比較して、

$\boxed{オ} = 5$

$\boxed{カキ} = 10$

3. 最終的な答え

オ = 5

カキ = 10