与えられた3つの等比数列の初項から第n項までの和を求める問題です。 (1) $5, 10, 20, \dots$ (2) $-1, 5, -25, \dots$ (3) $\sqrt{2}-1, 1, \dots$

1. 問題の内容

与えられた3つの等比数列の初項から第n項までの和を求める問題です。

(1) $5, 10, 20, \dots$

(2) $-1, 5, -25, \dots$

(3) $\sqrt{2}-1, 1, \dots$

2. 解き方の手順

等比数列の初項を$a$、公比を$r$とすると、初項から第$n$項までの和$S_n$は、

$r \neq 1$のとき、

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

$r = 1$のとき、

$S_n = na$

で表されます。

(1) 初項 $a=5$, 公比 $r = \frac{10}{5} = 2$

$S_n = \frac{5(1-2^n)}{1-2} = \frac{5(1-2^n)}{-1} = 5(2^n - 1)$

(2) 初項 $a=-1$, 公比 $r = \frac{5}{-1} = -5$

$S_n = \frac{-1(1-(-5)^n)}{1-(-5)} = \frac{-1(1-(-5)^n)}{6} = \frac{(-5)^n - 1}{6}$

(3) 初項 $a=\sqrt{2}-1$, 公比 $r = \frac{1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2}+1$

$S_n = \frac{(\sqrt{2}-1)(1-(\sqrt{2}+1)^n)}{1-(\sqrt{2}+1)} = \frac{(\sqrt{2}-1)(1-(\sqrt{2}+1)^n)}{-\sqrt{2}} = \frac{(1-(\sqrt{2}+1)^n)(\sqrt{2}-1)}{-\sqrt{2}} = \frac{((\sqrt{2}+1)^n-1)(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}}$

$= \frac{((\sqrt{2}+1)^n-1)(\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{2} = \frac{((\sqrt{2}+1)^n-1)(2-\sqrt{2})}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $5(2^n - 1)$

(2) $\frac{(-5)^n - 1}{6}$

(3) $\frac{((\sqrt{2}+1)^n-1)(2-\sqrt{2})}{2}$