(1) 不等式 $|5x - 41| < 2x + 1$ を満たす整数 $x$ の最大値と最小値を求める。 (2) 不等式 $2|x - 2| + |x - 1| < 3$ を解く。 (3) 等式 $|x - |x - 2|| = 1$ を満たす実数 $x$ をすべて求める。

はい、承知いたしました。画像にある3つの問題について、順に解答します。

1. 問題の内容

(1) 不等式 $|5x - 41| < 2x + 1$ を満たす整数 $x$ の最大値と最小値を求める。

(2) 不等式 $2|x - 2| + |x - 1| < 3$ を解く。

(3) 等式 $|x - |x - 2|| = 1$ を満たす実数 $x$ をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $|5x - 41| < 2x + 1$ を解く。

絶対値の性質より、$|a| < b$ は $-b < a < b$ と同値である。したがって、

$- (2x + 1) < 5x - 41 < 2x + 1$

この不等式は、次の2つの不等式に分解できる。

$- (2x + 1) < 5x - 41$

$5x - 41 < 2x + 1$

それぞれの不等式を解く。

まず、$-2x - 1 < 5x - 41$ より、

$40 < 7x$

$x > \frac{40}{7} \approx 5.71$

次に、$5x - 41 < 2x + 1$ より、

$3x < 42$

$x < 14$

したがって、$\frac{40}{7} < x < 14$ である。

この範囲にある整数 $x$ の最大値は13、最小値は6である。

(2) 不等式 $2|x - 2| + |x - 1| < 3$ を解く。

場合分けをする。

(i) $x < 1$ のとき

$2(2 - x) + (1 - x) < 3$

$4 - 2x + 1 - x < 3$

$5 - 3x < 3$

$-3x < -2$

$x > \frac{2}{3}$

したがって、$\frac{2}{3} < x < 1$

(ii) $1 \le x < 2$ のとき

$2(2 - x) + (x - 1) < 3$

$4 - 2x + x - 1 < 3$

$3 - x < 3$

$-x < 0$

$x > 0$

したがって、$1 \le x < 2$

(iii) $x \ge 2$ のとき

$2(x - 2) + (x - 1) < 3$

$2x - 4 + x - 1 < 3$

$3x - 5 < 3$

$3x < 8$

$x < \frac{8}{3}$

したがって、$2 \le x < \frac{8}{3}$

(i), (ii), (iii) を合わせると、$\frac{2}{3} < x < \frac{8}{3}$

(3) 等式 $|x - |x - 2|| = 1$ を満たす実数 $x$ をすべて求める。

場合分けをする。

(i) $x \ge 2$ のとき、$|x - (x - 2)| = 1$

$|2| = 1$ これは成立しない。したがって、解なし。

(ii) $x < 2$ のとき、$|x - (2 - x)| = 1$

$|2x - 2| = 1$

$2x - 2 = 1$ または $2x - 2 = -1$

$2x - 2 = 1$ のとき、$2x = 3$ より $x = \frac{3}{2}$

$2x - 2 = -1$ のとき、$2x = 1$ より $x = \frac{1}{2}$

$\frac{3}{2} < 2$ かつ $\frac{1}{2} < 2$ なので、どちらも条件を満たす。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 13, 最小値: 6

(2) $\frac{2}{3} < x < \frac{8}{3}$

(3) $x = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$