以下の3つの式を因数分解または簡単にしてください。 (1) $x^4 + 2x^2 + 1$ (2) $x^4 - 2x^2 + 1$ (3) $x^4 + x^2 + 1$

## 問題の解答

1. 問題の内容

以下の3つの式を因数分解または簡単にしてください。

(1) $x^4 + 2x^2 + 1$

(2) $x^4 - 2x^2 + 1$

(3) $x^4 + x^2 + 1$

2. 解き方の手順

(1) $x^4 + 2x^2 + 1$ について

この式は、$A = x^2$ と置くと、$A^2 + 2A + 1$ となります。これは $(A+1)^2$ と因数分解できます。

したがって、

$x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2$

(2) $x^4 - 2x^2 + 1$ について

この式も、$A = x^2$ と置くと、$A^2 - 2A + 1$ となります。これは $(A-1)^2$ と因数分解できます。

したがって、

$x^4 - 2x^2 + 1 = (x^2 - 1)^2$

さらに、$x^2 - 1$ は $(x-1)(x+1)$ と因数分解できるので、

$(x^2 - 1)^2 = [(x-1)(x+1)]^2 = (x-1)^2(x+1)^2$

(3) $x^4 + x^2 + 1$ について

この式に $x^2$ を足して引くと、

$x^4 + x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2$

$= (x^2 + 1)^2 - x^2$

これは、$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ の形なので、

$(x^2 + 1)^2 - x^2 = (x^2 + 1 - x)(x^2 + 1 + x)$

$= (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$

3. 最終的な答え

(1) $x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2$

(2) $x^4 - 2x^2 + 1 = (x^2 - 1)^2 = (x-1)^2(x+1)^2$

(3) $x^4 + x^2 + 1 = (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$