$a$ と $S$ を定数とし、$a \neq 0$ とする。初項が $a$ である等比数列の、初項から第3項までの和が $S$ となるような実数の等比数列がただ1つだけ存在するとする。このとき、$a$ と $S$ の関係、$S$の値、公比 $r$ の値、第10項の値を求める問題。

1. 問題の内容

$a$ と $S$ を定数とし、$a \neq 0$ とする。初項が $a$ である等比数列の、初項から第3項までの和が $S$ となるような実数の等比数列がただ1つだけ存在するとする。このとき、$a$ と $S$ の関係、$S$の値、公比 $r$ の値、第10項の値を求める問題。

2. 解き方の手順

初項 $a$, 公比 $r$ の等比数列の初項から第3項までの和 $S$ は、

$S = a + ar + ar^2$

と表される。

$a \neq 0$ より、

$S = a(1 + r + r^2)$

$1 + r + r^2 = \frac{S}{a}$

$r^2 + r + 1 - \frac{S}{a} = 0$

この $r$ に関する2次方程式がただ1つの実数解を持つとき、$a$ と $S$ の関係が求まる。

$r$ に関する2次方程式の判別式を $D$ とすると、

$D = 1 - 4(1 - \frac{S}{a}) = 1 - 4 + \frac{4S}{a} = -3 + \frac{4S}{a}$

$D = 0$ であれば、実数解 $r$ は1つだけである。

$-3 + \frac{4S}{a} = 0$

$\frac{4S}{a} = 3$

$S = \frac{3}{4}a$

このとき、$r = -\frac{1}{2}$

第10項は $ar^9$ なので、

$a(-\frac{1}{2})^9 = a \cdot \frac{-1}{512} = -\frac{a}{512}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{3}{4}a$

公比 $r = -\frac{1}{2}$

第10項 $= -\frac{a}{512}$