$a$ と $S$ を定数とし、$a \neq 0$ とする。初項が $a$ である等比数列の、初項から第3項までの和が $S$ となるような実数の等比数列がただ1つだけ存在するとする。このとき、$a$ と $S$ の関係、$S$の値、公比 $r$ の値、第10項の値を求める問題。

代数学等比数列二次方程式判別式数列の和
2025/5/17

1. 問題の内容

aaSS を定数とし、a0a \neq 0 とする。初項が aa である等比数列の、初項から第3項までの和が SS となるような実数の等比数列がただ1つだけ存在するとする。このとき、aaSS の関係、SSの値、公比 rr の値、第10項の値を求める問題。

2. 解き方の手順

初項 aa, 公比 rr の等比数列の初項から第3項までの和 SS は、
S=a+ar+ar2S = a + ar + ar^2
と表される。
a0a \neq 0 より、
S=a(1+r+r2)S = a(1 + r + r^2)
1+r+r2=Sa1 + r + r^2 = \frac{S}{a}
r2+r+1Sa=0r^2 + r + 1 - \frac{S}{a} = 0
この rr に関する2次方程式がただ1つの実数解を持つとき、aaSS の関係が求まる。
rr に関する2次方程式の判別式を DD とすると、
D=14(1Sa)=14+4Sa=3+4SaD = 1 - 4(1 - \frac{S}{a}) = 1 - 4 + \frac{4S}{a} = -3 + \frac{4S}{a}
D=0D = 0 であれば、実数解 rr は1つだけである。
3+4Sa=0-3 + \frac{4S}{a} = 0
4Sa=3\frac{4S}{a} = 3
S=34aS = \frac{3}{4}a
このとき、r=12r = -\frac{1}{2}
第10項は ar9ar^9 なので、
a(12)9=a1512=a512a(-\frac{1}{2})^9 = a \cdot \frac{-1}{512} = -\frac{a}{512}

3. 最終的な答え

S=34aS = \frac{3}{4}a
公比 r=12r = -\frac{1}{2}
第10項 =a512= -\frac{a}{512}

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