与えられた数列の第k項を求め、さらに初項から第n項までの和を求めます。数列は2つあります。 (1) 2, 2+4, 2+4+6, 2+4+6+8,... (2) 1, 1+3, 1+3+9, 1+3+9+27,...

代数学数列級数等差数列等比数列和の公式
2025/5/17

1. 問題の内容

与えられた数列の第k項を求め、さらに初項から第n項までの和を求めます。数列は2つあります。
(1) 2, 2+4, 2+4+6, 2+4+6+8,...
(2) 1, 1+3, 1+3+9, 1+3+9+27,...

2. 解き方の手順

(1) 数列の第k項を aka_k とすると、
ak=2+4+6+...+2k=i=1k2i=2i=1ki=2k(k+1)2=k(k+1)a_k = 2+4+6+...+2k = \sum_{i=1}^{k} 2i = 2 \sum_{i=1}^{k} i = 2 \cdot \frac{k(k+1)}{2} = k(k+1)
したがって、第k項 aka_kak=k(k+1)a_k = k(k+1) となります。
初項から第n項までの和を SnS_n とすると、
Sn=k=1nak=k=1nk(k+1)=k=1n(k2+k)=k=1nk2+k=1nkS_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k
Sn=n(n+1)(2n+1)6+n(n+1)2=n(n+1)6(2n+1+3)=n(n+1)6(2n+4)=n(n+1)(n+2)3S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)}{6} (2n+1 + 3) = \frac{n(n+1)}{6} (2n+4) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}
(2) 数列の第k項を bkb_k とすると、
bk=1+3+9+...+3k1=i=0k13ib_k = 1+3+9+...+3^{k-1} = \sum_{i=0}^{k-1} 3^i
これは初項1、公比3の等比数列の和なので、
bk=1(3k1)31=3k12b_k = \frac{1(3^k - 1)}{3-1} = \frac{3^k - 1}{2}
したがって、第k項 bkb_kbk=3k12b_k = \frac{3^k - 1}{2} となります。
初項から第n項までの和を TnT_n とすると、
Tn=k=1nbk=k=1n3k12=12(k=1n3kk=1n1)T_n = \sum_{k=1}^{n} b_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{3^k - 1}{2} = \frac{1}{2} (\sum_{k=1}^{n} 3^k - \sum_{k=1}^{n} 1)
k=1n3k\sum_{k=1}^{n} 3^k は初項3、公比3の等比数列の和なので、 3(3n1)31=3(3n1)2\frac{3(3^n - 1)}{3-1} = \frac{3(3^n - 1)}{2}
k=1n1=n\sum_{k=1}^{n} 1 = n
Tn=12(3(3n1)2n)=3(3n1)2n4=3n+132n4T_n = \frac{1}{2} (\frac{3(3^n - 1)}{2} - n) = \frac{3(3^n - 1) - 2n}{4} = \frac{3^{n+1} - 3 - 2n}{4}

3. 最終的な答え

(1) 第k項: k(k+1)k(k+1), 初項から第n項までの和: n(n+1)(n+2)3\frac{n(n+1)(n+2)}{3}
(2) 第k項: 3k12\frac{3^k - 1}{2}, 初項から第n項までの和: 3n+12n34\frac{3^{n+1} - 2n - 3}{4}

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