与えられた数列の第k項を求め、さらに初項から第n項までの和を求めます。数列は2つあります。 (1) 2, 2+4, 2+4+6, 2+4+6+8,... (2) 1, 1+3, 1+3+9, 1+3+9+27,...

1. 問題の内容

与えられた数列の第k項を求め、さらに初項から第n項までの和を求めます。数列は2つあります。

(1) 2, 2+4, 2+4+6, 2+4+6+8,...

(2) 1, 1+3, 1+3+9, 1+3+9+27,...

2. 解き方の手順

(1) 数列の第k項を $a_k$ とすると、

$a_k = 2+4+6+...+2k = \sum_{i=1}^{k} 2i = 2 \sum_{i=1}^{k} i = 2 \cdot \frac{k(k+1)}{2} = k(k+1)$

したがって、第k項 $a_k$ は $a_k = k(k+1)$ となります。

初項から第n項までの和を $S_n$ とすると、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$

$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)}{6} (2n+1 + 3) = \frac{n(n+1)}{6} (2n+4) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

(2) 数列の第k項を $b_k$ とすると、

$b_k = 1+3+9+...+3^{k-1} = \sum_{i=0}^{k-1} 3^i$

これは初項1、公比3の等比数列の和なので、

$b_k = \frac{1(3^k - 1)}{3-1} = \frac{3^k - 1}{2}$

したがって、第k項 $b_k$ は $b_k = \frac{3^k - 1}{2}$ となります。

初項から第n項までの和を $T_n$ とすると、

$T_n = \sum_{k=1}^{n} b_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{3^k - 1}{2} = \frac{1}{2} (\sum_{k=1}^{n} 3^k - \sum_{k=1}^{n} 1)$

$\sum_{k=1}^{n} 3^k$ は初項3、公比3の等比数列の和なので、 $\frac{3(3^n - 1)}{3-1} = \frac{3(3^n - 1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

$T_n = \frac{1}{2} (\frac{3(3^n - 1)}{2} - n) = \frac{3(3^n - 1) - 2n}{4} = \frac{3^{n+1} - 3 - 2n}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 第k項: $k(k+1)$, 初項から第n項までの和: $\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

(2) 第k項: $\frac{3^k - 1}{2}$, 初項から第n項までの和: $\frac{3^{n+1} - 2n - 3}{4}$