与えられた式は、部分分数分解の問題です。 $\frac{3}{x^3 - 1} = \frac{a}{x-1} + \frac{bx+c}{x^2+x+1}$ を満たす $a, b, c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた式は、部分分数分解の問題です。

$\frac{3}{x^3 - 1} = \frac{a}{x-1} + \frac{bx+c}{x^2+x+1}$

を満たす $a, b, c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1)$ であることを利用して、右辺を通分します。

$\frac{3}{x^3 - 1} = \frac{a(x^2+x+1) + (bx+c)(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{a(x^2+x+1) + (bx+c)(x-1)}{x^3-1}$

分母が等しいので、分子も等しくなります。

$3 = a(x^2+x+1) + (bx+c)(x-1)$

これを展開して整理します。

$3 = ax^2 + ax + a + bx^2 - bx + cx - c$

$3 = (a+b)x^2 + (a-b+c)x + (a-c)$

この式が全ての $x$ について成り立つためには、各次数の係数が等しくなければなりません。

したがって、以下の連立方程式を得ます。

$a+b = 0$

$a-b+c = 0$

$a-c = 3$

これらの式を解きます。

最初の式から、$b = -a$ が得られます。

3番目の式から、$c = a-3$ が得られます。

これらを2番目の式に代入します。

$a - (-a) + (a-3) = 0$

$a + a + a - 3 = 0$

$3a = 3$

$a = 1$

したがって、$b = -a = -1$、 $c = a - 3 = 1 - 3 = -2$

ゆえに、$a = 1, b = -1, c = -2$ となります。

3. 最終的な答え

$a=1, b=-1, c=-2$