数列 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{1}{6}, ...$ がある。この数列の60番目の分数を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{1}{6}, ...$ がある。この数列の60番目の分数を求めよ。

2. 解き方の手順

この数列は、分母が2, 3, 4, 5, 6, ... と増えていく数列である。

まず、分母が $n$ である分数の個数は $n-1$ 個である。

分母が $n$ までの分数の個数の合計は、

$1 + 2 + 3 + ... + (n-1) = \frac{(n-1)n}{2}$ で表される。

60番目の分数がどの分母のグループに属するかを調べるために、$\frac{(n-1)n}{2} \le 60$ となる最大の $n$ を求める。

$n(n-1) \le 120$ を満たす最大の $n$ は、 $n=11$ である。

$\frac{(11-1) \times 11}{2} = \frac{10 \times 11}{2} = 55$ なので、分母が11までの分数の個数は55個である。

したがって、60番目の分数は、分母が12のグループに属する。

60番目の分数は、分母が12のグループの $60-55=5$ 番目の分数である。

分母が12のグループは $\frac{1}{12}, \frac{2}{12}, \frac{3}{12}, \frac{4}{12}, \frac{5}{12}, ...$ と続くので、5番目の分数は $\frac{5}{12}$ である。

3. 最終的な答え

$\frac{5}{12}$