表で与えられたA組、B組、C組の数学の試験の平均点に関する問題。(1)A組の平均点を求め、B組の平均点がA組の平均点と等しいときのxの値を求める。(2)C組の平均点がA組の平均点以上で、B組の合計得点とC組の合計得点の差が300点以上であるようなxの値を求める。(3)C組の欠席者2人が受験し、当初C組の平均点がA組の平均点以上であったが、再計算後、C組の平均点がA組の平均点より低くなったとき、xの値がただ1つに定まるようなkの値を求める。

1. 問題の内容

表で与えられたA組、B組、C組の数学の試験の平均点に関する問題。(1)A組の平均点を求め、B組の平均点がA組の平均点と等しいときのxの値を求める。(2)C組の平均点がA組の平均点以上で、B組の合計得点とC組の合計得点の差が300点以上であるようなxの値を求める。(3)C組の欠席者2人が受験し、当初C組の平均点がA組の平均点以上であったが、再計算後、C組の平均点がA組の平均点より低くなったとき、xの値がただ1つに定まるようなkの値を求める。

2. 解き方の手順

(1) A組の平均点を求める。

A組の平均点は、(男子の得点合計 + 女子の得点合計) / (男子の人数 + 女子の人数)で計算される。

男子の得点合計 = $32 \times 60 = 1920$

女子の得点合計 = $8 \times 70 = 560$

A組の平均点 = $\frac{1920 + 560}{32 + 8} = \frac{2480}{40} = 62$

B組の平均点がA組の平均点と等しいとき、B組の平均点は62点となる。

B組の平均点は、(男子の得点合計 + 女子の得点合計) / (男子の人数 + 女子の人数)で計算される。

男子の得点合計 = $(40-x) \times 65$

女子の得点合計 = $x \times 55$

B組の平均点 = $\frac{(40-x) \times 65 + x \times 55}{40-x + x} = \frac{2600 - 65x + 55x}{40} = \frac{2600 - 10x}{40}$

$\frac{2600 - 10x}{40} = 62$ より $2600 - 10x = 2480$

$10x = 120$

$x = 12$

(2) C組の平均点がA組の平均点以上であるとき、C組の平均点 >= 62

C組の平均点は、(男子の得点合計 + 女子の得点合計) / (男子の人数 + 女子の人数)で計算される。

男子の得点合計 = $(x+5) \times 59$

女子の得点合計 = $(40-x) \times 64$

C組の平均点 = $\frac{(x+5) \times 59 + (40-x) \times 64}{x+5 + 40-x} = \frac{59x + 295 + 2560 - 64x}{45} = \frac{2855 - 5x}{45}$

$\frac{2855 - 5x}{45} \ge 62$ より $2855 - 5x \ge 2790$

$5x \le 65$

$x \le 13$

B組の合計得点 = $(40-x) \times 65 + x \times 55 = 2600 - 65x + 55x = 2600 - 10x$

C組の合計得点 = $(x+5) \times 59 + (40-x) \times 64 = 59x + 295 + 2560 - 64x = 2855 - 5x$

B組の合計得点とC組の合計得点の差が300点以上であるとき、$| (2600 - 10x) - (2855 - 5x) | \ge 300$

$| -255 - 5x | \ge 300$

$|-5(51 + x)| \ge 300$

$5|51 + x| \ge 300$

$|51 + x| \ge 60$

$51 + x \ge 60$ または $51 + x \le -60$

$x \ge 9$ または $x \le -111$

xは1以上39以下の整数なので、$9 \le x \le 13$

したがって、x = 9, 10, 11, 12, 13

(3) 後日、試験を欠席していたC組の2人の男子が同じ試験を受験した。この2人の得点の和をk点とする。当初、C組の平均点がA組の平均点以上であったが、この2人の得点を加えて計算し直したところ、C組の平均点がA組の平均点より低くなった。このとき、xの値がただ1つに定まるようなkの値をすべて求めよ。

当初のC組の平均点: $\frac{2855 - 5x}{45} \ge 62$ より $x \le 13$

C組の人数は$x+5+40-x = 45$ 人。新たに2人加わり、47人になる。

新たなC組の平均点: $\frac{2855 - 5x + k}{47} < 62$

$2855 - 5x + k < 2914$

$k < 59 + 5x$

$x \le 13$ かつ $k < 59 + 5x$

$x=1$のとき $k < 64$

$x=13$のとき $k < 59 + 5(13) = 59 + 65 = 124$

$k = 63$ ならば、$59 + 5x > 63$ , $5x > 4$ , $x > \frac{4}{5}$ つまり$x \ge 1$

$k$が大きくなると、不等式を満たす$x$が少なくなる。$x$の値がただ1つに定まるような$k$の値を求める。

もし$x = 13$が唯一の解となる場合、$k < 59 + 5(13) = 124$ かつ $x=12$ならば、$k>59+5*12-1=118$. $118 \le k \le 123$.

なので $k=119, 120, 121, 122, 123$のときにxの値がただ一つに定まる。

3. 最終的な答え

(1) A組の平均点: 62点, x = 12

(2) x = 9, 10, 11, 12, 13

(3) k = 119, 120, 121, 122, 123