問題5：確率変数 $X$ が二項分布 $B(8, \frac{1}{6})$ に従うとき、(1) $X$ の期待値と (2) $X$ の標準偏差を求めよ。 問題6：母平均80、母標準偏差10の母集団から、大きさ100の無作為標本を復元抽出するとき、(1) 標本平均の期待値と (2) 標本平均の標準偏差を求めよ。

1. 問題の内容

問題5：確率変数 $X$ が二項分布 $B(8, \frac{1}{6})$ に従うとき、(1) $X$ の期待値と (2) $X$ の標準偏差を求めよ。

問題6：母平均80、母標準偏差10の母集団から、大きさ100の無作為標本を復元抽出するとき、(1) 標本平均の期待値と (2) 標本平均の標準偏差を求めよ。

2. 解き方の手順

問題5：

(1) 二項分布 $B(n, p)$ に従う確率変数 $X$ の期待値は $E(X) = np$ で求められる。

この問題では、$n=8$、$p=\frac{1}{6}$ なので、

$E(X) = 8 \times \frac{1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

(2) 二項分布 $B(n, p)$ に従う確率変数 $X$ の分散は $V(X) = np(1-p)$ で求められる。

この問題では、$n=8$、$p=\frac{1}{6}$ なので、

$V(X) = 8 \times \frac{1}{6} \times (1 - \frac{1}{6}) = 8 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{40}{36} = \frac{10}{9}$

標準偏差は分散の平方根なので、

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{10}{9}} = \frac{\sqrt{10}}{3}$

問題6：

(1) 母平均が $\mu$ の母集団から抽出された標本平均 $\bar{X}$ の期待値は、$E(\bar{X}) = \mu$ である。

この問題では、母平均は80なので、

$E(\bar{X}) = 80$

(2) 母標準偏差が $\sigma$ の母集団から大きさ $n$ の標本を復元抽出したときの標本平均 $\bar{X}$ の標準偏差は、

$\sigma(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ である。

この問題では、母標準偏差は10、標本の大きさは100なので、

$\sigma(\bar{X}) = \frac{10}{\sqrt{100}} = \frac{10}{10} = 1$

3. 最終的な答え

問題5：

(1) $X$ の期待値: $\frac{4}{3}$

(2) $X$ の標準偏差: $\frac{\sqrt{10}}{3}$

問題6：

(1) 標本平均の期待値: 80

(2) 標本平均の標準偏差: 1