長さが2cm, 3cm, 4cm, 5cm, 5cmの5本の棒があります。 (1) この5本の棒の中から3本を選ぶとき、選び方は全部で何通りありますか。 (2) 選んだ3本の棒で三角形を作ることができるのは全部で何通りですか。

1. 問題の内容

長さが2cm, 3cm, 4cm, 5cm, 5cmの5本の棒があります。

(1) この5本の棒の中から3本を選ぶとき、選び方は全部で何通りありますか。

(2) 選んだ3本の棒で三角形を作ることができるのは全部で何通りですか。

2. 解き方の手順

(1) 5本の棒から3本を選ぶ組み合わせの数を求めます。同じ長さの棒が2本あることに注意します。

まず、5本すべてが異なるとして組み合わせの数を計算し、重複分を修正します。

5本の棒から3本を選ぶ組み合わせは、

$_{5}C_{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通りです。

しかし、実際には5cmの棒が2本あるので、以下のように考えます。

* 5cmの棒を2本使う場合：残りの1本は2cm, 3cm, 4cmのいずれかなので3通り。

* 5cmの棒を1本使う場合：残りの2本は2cm, 3cm, 4cmから選ぶので $_{3}C_{2} = \frac{3!}{2!1!} = 3$ 通り。

* 5cmの棒を使わない場合：2cm, 3cm, 4cmから3本を選ぶので$_{3}C_{3} = 1$ 通り。

したがって、全部で $3 + 3 + 1 = 7$通り。5cmの棒が2本あるので、組み合わせは単純な $_{5}C_{3}$ では求められません。組み合わせを具体的に書き出します。

(2cm, 3cm, 4cm), (2cm, 3cm, 5cm), (2cm, 4cm, 5cm), (2cm, 5cm, 5cm), (3cm, 4cm, 5cm), (3cm, 5cm, 5cm), (4cm, 5cm, 5cm)

全部で10通りです。

(2) 三角形が作れる条件は、最も長い辺の長さが、他の2辺の長さの和よりも短いことです。

上記の組み合わせをすべてチェックします。

* (2cm, 3cm, 4cm): $2+3 > 4$, 三角形が作れる。

* (2cm, 3cm, 5cm): $2+3 < 5$, 三角形が作れない。

* (2cm, 4cm, 5cm): $2+4 > 5$, 三角形が作れる。

* (2cm, 5cm, 5cm): $2+5 > 5$, 三角形が作れる。

* (3cm, 4cm, 5cm): $3+4 > 5$, 三角形が作れる。

* (3cm, 5cm, 5cm): $3+5 > 5$, 三角形が作れる。

* (4cm, 5cm, 5cm): $4+5 > 5$, 三角形が作れる。

三角形が作れるのは7通りです。

3. 最終的な答え

(1) 10通り

(2) 7通り