8人の生徒を以下の条件で組に分ける場合の数を求めます。 (1) 4人、3人、1人の3組に分ける。 (2) 4人、4人の2つの組A, Bに分ける。 (3) 4人、4人の2組に分ける。 (4) 4人、2人、2人の3組に分ける。

1. 問題の内容

8人の生徒を以下の条件で組に分ける場合の数を求めます。

(1) 4人、3人、1人の3組に分ける。

(2) 4人、4人の2つの組A, Bに分ける。

(3) 4人、4人の2組に分ける。

(4) 4人、2人、2人の3組に分ける。

2. 解き方の手順

(1) 4人、3人、1人の組に分ける場合

まず、8人から4人を選び、次に残りの4人から3人を選び、最後に残った1人を1人の組にします。

組み合わせの数は、

$\frac{8!}{4!3!1!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 280$ 通りです。

(2) 4人、4人の2つの組A, Bに分ける場合

まず、8人から4人を選んでAの組にし、残りの4人をBの組にします。

組み合わせの数は、

$\frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$ 通りです。

(3) 4人、4人の2組に分ける場合

(2)と同様に、8人から4人を選び、残りの4人をもう一つの組にします。ただし、2つの組に区別がないため、(2)で求めた数を2で割る必要があります。

組み合わせの数は、

$\frac{1}{2} \times \frac{8!}{4!4!} = \frac{1}{2} \times 70 = 35$ 通りです。

(4) 4人、2人、2人の3組に分ける場合

まず、8人から4人を選び、次に残りの4人から2人を選び、最後に残った2人を2人の組にします。

組み合わせの数は、

$\frac{8!}{4!2!2!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{2 \times 2} = 420$

さらに、2人の組が2つあるため、2!で割る必要があります。

$\frac{420}{2!} = \frac{420}{2} = 210$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 280通り

(2) 70通り

(3) 35通り

(4) 210通り