## 問題の概要

## 問題の概要

円形のテーブルに6人(A, B, C, D, E, F)が座っており、1からpまでの番号が書かれたカードを、ある人から時計回りに1枚ずつ配っていくという設定で、会話文を読み、設問に答える。

## 解き方の手順

**問1:**

* 20番のカードが誰に配られるかを考える。Aから配り始めており、6人ずつに順番に配られるため、$20 \div 6 = 3$ あまり $2$。したがって、Aから数えて2番目の人に配られる。図1より、これはBさん。

* AさんとBさんに配られるカードの枚数を考える。20枚のカードを6人で配る場合、A, Bに配られる枚数は4枚。他の4人に配られるカードの枚数は3枚である。$20 \div 6 = 3$ あまり $2$。この余りが A, B に配られるため、AとBは3枚より1枚ずつ多くカードを受け取る。すなわち4枚。

**問2:**

* 配られるカードの枚数が全員等しくなるのは、pが6の倍数の時である。なぜなら6人全員に同じ枚数だけ配られる必要があるからである。

**問3 (1):**

* Aさんが1枚目に配られるカードの番号は3である。$n$枚目に配られるカードの番号は、$3 + 6(n-1)$と表せる。これは、初項3、公差6の等差数列の一般項。

* p = 220のとき、Aさんに配られるカードの枚数は最大で何枚になるかを考える。$3 + 6(n-1) \le 220$となる最大のnを求める。$6(n-1) \le 217$、$n-1 \le 36.166...$。したがって、$n \le 37.166...$となり、nは整数なので最大で$n = 37$。

**問3 (2):**

* Cさんがn枚目に配られるカードの番号を考える。A, Bを経てCに配られるため、初項は5であり、公差は6。したがって、Cさんがn枚目に配られるカードの番号は、$5 + 6(n-1)$と表せる。

* p = 220のとき、Cさんに配られるカードの枚数は最大で何枚になるかを考える。$5 + 6(n-1) \le 220$となる最大のnを求める。$6(n-1) \le 215$、$n-1 \le 35.833...$。したがって、$n \le 36.833...$となり、nは整数なので最大で$n = 36$。

**問4:**

Bさんに配られたカードの枚数がEさんより1枚多いので、Eさんに配られたカードの枚数を$x$枚とすると、Bさんに配られたカードの枚数は$x+1$枚となる。

Eさんに配られたカードに書かれた自然数のうち、最も小さい自然数を$e_{min}$、最も大きい自然数を$e_{max}$とする。

$e_{min} + e_{max} = 842$

Eさんに配られるカードは、5, 11, 17, 23, 29,...という数列であり、この数列のn項目は$6n-1$と表される。

Eさんが$n$枚目に配られるカードに書かれた自然数は$6n-1$である。

Eさんが$x$枚のカードを受け取るとき、$e_{min}$は5、$e_{max} = 5+6(x-1)$となる。

5 + 5 + 6(x-1) = 842

$10 + 6x - 6 = 842$

$6x + 4 = 842$

$6x = 838$

$x = 139.66...$

この結果から、$x$は整数でないといけないので、前提が間違っていることがわかる。

$e_{min}$は $6m-1$、$e_{max} = 6n-1$と表せる。（ただし$n>m$）

そして、カード番号の合計は$842$なので、

$6m-1 + 6n-1 = 842$

$6(m+n) = 844$

$m+n = 844/6 = 422/3 = 140.66...$

この結果から、$m+n$は整数でないといけないので、前提が間違っていることがわかる。

Eさんのカードの枚数$x$は整数である。Eさんに配られるカードの最小の数字を$6n - 1$とする。そのとき最大の数字は $6(n + x - 1) - 1$。

最小と最大の数字の和が842であるから、

$(6n - 1) + (6(n + x - 1) - 1) = 842$

$6n - 1 + 6n + 6x - 6 - 1 = 842$

$12n + 6x - 8 = 842$

$12n + 6x = 850$

$6(2n + x) = 850$

$2n + x = 850 / 6 = 425 / 3$

カードの合計の数字は$4 + 6y-1$ ($y$はEさんの最初の数字)

もしEさんの最小数字が5だった場合、$4+6(1)-1 = 4+5 = 9$ ($n$が１の場合）

$12*1 + 6x = 850$

$6x = 838$

$x+1 = Bさんのカード数$

カード数最大の場合、Eさんの最も小さいカードが5、最大のカードが$5+6*1 = 11$のとき、和が842に近づくようにする必要がある。

Eにx枚のカードがあり、最小のカードが5の場合、最大のカードは$6x - 1$である。

Bのカード数は$y+1$

Eのカード数は$y$

## 最終的な答え

問1: (ア) B, (イ) 4

問2: 6の倍数

問3: (1) (エ) $3 + 6(n-1)$, (オ) 37 (2) (カ) $5 + 6(n-1)$, (キ) 36

問4: (計算過程省略)