関数 $y = \frac{ax + 1}{x + 2}$ の逆関数が元の関数と一致するとき、定数 $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{ax + 1}{x + 2}$ の逆関数が元の関数と一致するとき、定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y = \frac{ax + 1}{x + 2}$ の逆関数を求めます。

$y = \frac{ax + 1}{x + 2}$ を $x$ について解きます。

$y(x + 2) = ax + 1$

$yx + 2y = ax + 1$

$yx - ax = 1 - 2y$

$x(y - a) = 1 - 2y$

$x = \frac{1 - 2y}{y - a}$

したがって、逆関数は $y = \frac{1 - 2x}{x - a}$ です。

問題文より、逆関数が元の関数と一致するため、

$\frac{ax + 1}{x + 2} = \frac{1 - 2x}{x - a}$

が成り立ちます。

これは、

$(ax + 1)(x - a) = (1 - 2x)(x + 2)$

$ax^2 - a^2 x + x - a = x + 2 - 2x^2 - 4x$

$ax^2 - a^2 x + x - a = -2x^2 - 3x + 2$

$(a + 2)x^2 + (3 - a^2)x + (-a - 2) = 0$

この等式が任意の $x$ について成り立つには、各係数が0でなければなりません。

$a + 2 = 0$

$3 - a^2 = 0$

$-a - 2 = 0$

$a + 2 = 0$ より $a = -2$

$3 - a^2 = 0$ より $a^2 = 3$, よって $a = \pm \sqrt{3}$

ここで、与えられた関数 $y = \frac{ax + 1}{x + 2}$ の定義域は $x \neq -2$ です。また、逆関数 $y = \frac{1 - 2x}{x - a}$ の定義域は $x \neq a$ です。

$\frac{ax+1}{x+2} = \frac{1-2x}{x-a}$ より、

$\frac{ax+1}{x+2} = \frac{-2x+1}{x-a}$

もし $a = -2$ のとき、

$\frac{-2x+1}{x+2} = \frac{-2x+1}{x+2}$

となり、これは恒等式になります。

したがって、$a = -2$

3. 最終的な答え

-2