数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_{n+2} = a_n + 5$ を満たし、$a_1 + a_2 + a_3 = 24$ であるとき、数列 $\{a_n\}$ がどのような数列であるか、また、$a_1$ の値と一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_{n+2} = a_n + 5$ を満たし、$a_1 + a_2 + a_3 = 24$ であるとき、数列 $\{a_n\}$ がどのような数列であるか、また、$a_1$ の値と一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $a_{n+2} = a_n + 5$ より、数列 $\{a_n\}$ は、$n$ が偶数か奇数かで異なる等差数列となることがわかります。 つまり、$n$が偶数のときと奇数のときでそれぞれ等差数列をなします。公差は、$a_{n+2} - a_n = 5$ より、2項おきに5ずつ増えるので、偶数項の数列も奇数項の数列も、公差は5の等差数列です。

(2) $a_2 = a_1 + d$ のような簡単な等差数列ではなく、$a_{n+2} = a_n + 5$ なので、$a_3 = a_1 + 5$ となります。これを用いて、$a_1 + a_2 + a_3 = 24$ を書き換えます。

$a_1 + a_2 + a_1 + 5 = 24$

$2a_1 + a_2 = 19$

次に、$a_2$ を消去するために、$a_2 = a_1 + エ$ の形にします。

$a_3 = a_2 + 5$より、$a_2 = a_3 - 5 = (a_1 + 5) - 5 = a_1$ではないので、奇数項と偶数項で別々に考えます。

$a_2$ は $n=1$ のとき、$a_3 = a_1 + 5$ なので、$a_4 = a_2 + 5$です。

$a_2 = a_1 + d$ と置くと、$a_3 = a_2 + d$ とは言えないので、$a_1, a_3, a_5, ...$と$a_2, a_4, a_6, ...$ はそれぞれ公差5の等差数列になります。

$a_1 + a_2 + a_3 = a_1 + a_2 + a_1 + 5 = 24$ なので、$2a_1 + a_2 = 19$ です。

ここで、$a_2 = a_1 + k$ とすると、$2a_1 + a_1 + k = 19$ より、$3a_1 + k = 19$ となります。

$a_3 = a_2 + エ$ とおくと、$a_3 = a_1 + 5$ なので、$a_2 + エ = a_1 + 5$ より、$a_2 = a_1 + 5 - エ$ となります。つまり、$k = 5 - エ$ です。

$a_2=a_1 + オカ$とすると、$2a_1 + a_2 = 19$より、$2a_1 + a_1 + オカ = 19$

$3a_1 + オカ = 19$

したがって、$a_1$ が整数であるためには、$19 - オカ$ が3の倍数でなければなりません。

ここで、数列 $\{a_n\}$ は、公差が5の等差数列が2つ組み合わさったものなので、$\{a_n\}$ は等差数列ではありません。 したがって、**ア** は「公差」、**イ** は「〜の」、**ウ** は「等差」ではありません。

しかし、問題文の指示に従い、等差数列として解釈することを試みます。$a_2 = a_1 + d$, $a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d$ とすると、$a_1 + a_2 + a_3 = a_1 + a_1 + d + a_1 + 2d = 3a_1 + 3d = 24$ より、$a_1 + d = 8$。 このとき、$a_1 = 8-d$。

$a_3 = a_1 + 5 = a_1 + 2d$ より、$2d = 5$, $d=2.5$。$a_1 = 8 - 2.5 = 5.5$ となります。

$a_1 + a_2 + a_3 = 24$ かつ $a_{n+2} = a_n + 5$ より、$a_3 = a_1+5$ なので、$a_1 + a_2 + a_1 + 5 = 24$。 よって、$2a_1 + a_2 = 19$。$a_2 = a_1 + オカ$とすると、$3a_1 + オカ = 19$

$a_2 = a_1 + \frac{5}{2}$, $a_3 = a_2 + \frac{5}{2}$, と仮定すると、$a_3 = a_1 + 5 = a_2 + \frac{5}{2}$。$a_2 = a_1 + \frac{5}{2}$ を代入すると、$a_1 + 5 = a_1 + \frac{5}{2} + \frac{5}{2}$ となり成立する。$a_1 + a_1 + \frac{5}{2} + a_1 + 5 = 24$。$3a_1 = 24 - \frac{15}{2} = \frac{33}{2}$。$a_1 = \frac{11}{2} = 5.5$

$a_1=5.5$ より、$a_2=8$, $a_3 = 10.5$。 $a_4 = 13$, $a_5=15.5$, $a_6 = 18$

$2a_1 + a_2 = 19$ に代入すると、$11 + 8 = 19$

この仮定の下では、数列{an}は等差数列であり、公差は2.

5. この場合、$a_2 = a_1 + 2.5$, $a_1 = 5.5$ である。$a_n = a_1 + (n-1)d = 5.5 + 2.5(n-1)$.

$a_n = 5.5 + 2.5n - 2.5 = 3 + 2.5n$

$a_n = 3 + \frac{5}{2}n = \frac{6+5n}{2}$.

3. 最終的な答え

ア: 公差

ウ: 等差

エ: 2.5 (あるいは 5/2)

オカ: 2.5 (あるいは 5/2)

キ: 5.5 (あるいは 11/2)

ク: 5/2

ケ: 3

数列 $\{a_n\}$ は **公差** が $2.5$ の **等差** 数列であり、$a_2 = a_1 + \frac{5}{2}$ であり、$a_1 = \frac{11}{2}$ であり、数列 $\{a_n\}$ の一般項は $a_n = \frac{5}{2} n + 3$ である。