連立不等式 $x + y \le 3$, $x - y \le 1$, $x \ge 0$, $y \ge 0$ を満たす $x, y$ に対して、$3x - y$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

連立不等式

$x + y \le 3$,

$x - y \le 1$,

$x \ge 0$,

$y \ge 0$

を満たす $x, y$ に対して、$3x - y$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた連立不等式の表す領域を図示する。

$x + y = 3$ は $y = -x + 3$ と変形できる。

$x - y = 1$ は $y = x - 1$ と変形できる。

$x = 0$ は $y$ 軸である。

$y = 0$ は $x$ 軸である。

これらの直線で囲まれた領域は、次の4つの不等式を満たす領域である。

$x + y \le 3$

$x - y \le 1$

$x \ge 0$

$y \ge 0$

領域の頂点は、以下の連立方程式を解くことで求められる。

(1) $x + y = 3$ と $x - y = 1$ の交点:

$2x = 4$, よって $x = 2$, $y = 1$. 交点は $(2, 1)$。

(2) $x + y = 3$ と $x = 0$ の交点:

$(0, 3)$

(3) $x - y = 1$ と $y = 0$ の交点:

$(1, 0)$

(4) $x = 0$ と $y = 0$ の交点:

$(0, 0)$

したがって、領域の頂点は $(0, 0)$, $(1, 0)$, $(2, 1)$, $(0, 3)$ である。

これらの頂点における $3x - y$ の値を計算する。

$(0, 0)$ のとき、$3(0) - 0 = 0$

$(1, 0)$ のとき、$3(1) - 0 = 3$

$(2, 1)$ のとき、$3(2) - 1 = 5$

$(0, 3)$ のとき、$3(0) - 3 = -3$

$3x - y$ の最大値は $5$、最小値は $-3$ である。

3. 最終的な答え

最大値：5

最小値：-3