数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_1 = 2$, $a_2 = 3$, $a_{n+2} = a_{n+1} + 2a_n$ で定義されるとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_1 = 2$, $a_2 = 3$, $a_{n+2} = a_{n+1} + 2a_n$ で定義されるとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この3項間漸化式を解くために、特性方程式を利用します。

まず、$a_{n+2} = a_{n+1} + 2a_n$ を変形して、$a_{n+2} - a_{n+1} - 2a_n = 0$ とします。

次に、特性方程式 $x^2 - x - 2 = 0$ を考えます。

この特性方程式を解くと、$(x-2)(x+1) = 0$ より、$x = 2, -1$ となります。

したがって、数列 $\{a_n\}$ の一般項は、$a_n = A(2)^n + B(-1)^n$ と表されます。ただし、$A, B$ は定数です。

初期条件 $a_1 = 2$ と $a_2 = 3$ を用いて、$A$ と $B$ の値を求めます。

$a_1 = 2A - B = 2$

$a_2 = 4A + B = 3$

これらの連立方程式を解きます。

2つの式を足し合わせると、$6A = 5$ より、$A = \frac{5}{6}$ となります。

$B = 2A - 2 = 2(\frac{5}{6}) - 2 = \frac{5}{3} - 2 = -\frac{1}{3}$ となります。

よって、$a_n = \frac{5}{6} \cdot 2^n - \frac{1}{3} \cdot (-1)^n$ となります。

整理すると、$a_n = \frac{5 \cdot 2^n - 2 \cdot (-1)^n}{6}$ となります。

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{5 \cdot 2^n - 2 \cdot (-1)^n}{6}$