問題3は、3次元列ベクトル $a_1, a_2, a_3$ からなる3次正方行列 $A = [a_1, a_2, a_3]$ が正則であるとき、行列式 $|a_3 + 2a_2, 2a_2 - a_1, 5a_1|$ が $|A|$ の何倍になるかを求める問題です。 問題4は、行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$ に対して、$A$ の余因子行列の (1,2) 成分 $\tilde{a}_{12}$ が、$A$ の (1,2) 小行列の行列式の何倍になるかを求める問題です。

1. 問題の内容

問題3は、3次元列ベクトル $a_1, a_2, a_3$ からなる3次正方行列 $A = [a_1, a_2, a_3]$ が正則であるとき、行列式 $|a_3 + 2a_2, 2a_2 - a_1, 5a_1|$ が $|A|$ の何倍になるかを求める問題です。

問題4は、行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$ に対して、$A$ の余因子行列の (1,2) 成分 $\tilde{a}_{12}$ が、$A$ の (1,2) 小行列の行列式の何倍になるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

問題3：

行列式の性質を利用します。

まず、$|a_3 + 2a_2, 2a_2 - a_1, 5a_1|$ を展開します。

$|a_3 + 2a_2, 2a_2 - a_1, 5a_1| = |a_3, 2a_2 - a_1, 5a_1| + |2a_2, 2a_2 - a_1, 5a_1|$

$= |a_3, 2a_2, 5a_1| - |a_3, a_1, 5a_1| + |2a_2, 2a_2, 5a_1| - |2a_2, a_1, 5a_1|$

$= |a_3, 2a_2, 5a_1| - |2a_2, a_1, 5a_1|$

$= 10 |a_3, a_2, a_1| - 10 |a_2, a_1, a_1|$

$= 10 |a_3, a_2, a_1|$

ここで、列を入れ替えると符号が変わるので、$|a_3, a_2, a_1| = - |a_3, a_1, a_2| = |a_1, a_3, a_2| = - |a_1, a_2, a_3| = - |A|$.

したがって、$|a_3 + 2a_2, 2a_2 - a_1, 5a_1| = 10 (-|A|) = -10|A|$.

問題4：

行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$ の (1,2) 小行列は、1行目と2列目を取り除いた行列なので、$[2]$ となります。

したがって、(1,2) 小行列の行列式は $2$ です。

$A$ の余因子行列の (1,2) 成分 $\tilde{a}_{12}$ は、$(-1)^{1+2} M_{12}$ で計算されます。

ここで、$M_{12}$ は (1,2) 小行列の行列式を表します。

$\tilde{a}_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = (-1)^{3} \cdot 2 = -2$.

よって、$\tilde{a}_{12}$ は (1,2) 小行列の行列式の $-1$ 倍です。

3. 最終的な答え

問題3: -10

問題4: -1