与えられた行列によって、点P, Q, Rがどのように変換されるか、つまり、それらの像P', Q', R'を求めます。問題は3つの部分に分かれています。

1. 問題の内容

与えられた行列によって、点P, Q, Rがどのように変換されるか、つまり、それらの像P', Q', R'を求めます。問題は3つの部分に分かれています。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $\begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

点 P(3,2) の像 P' を求める：

$\begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2*3 + 3*2 \\ -1*3 + 2*2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

P' = (0, 1)

点 Q(-1,4) の像 Q' を求める：

$\begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2*(-1) + 3*4 \\ -1*(-1) + 2*4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 \\ 9 \end{pmatrix}$

Q' = (14, 9)

点 R(2,-2) の像 R' を求める：

$\begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2*2 + 3*(-2) \\ -1*2 + 2*(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 \\ -6 \end{pmatrix}$

R' = (-10, -6)

(2) 行列 $\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & -2 \end{pmatrix}$

点 P(1,3,2) の像 P' を求める：

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1*1 + (-2)*3 + 3*2 \\ 0*1 + (-1)*3 + 2*2 \\ 2*1 + 2*3 + (-2)*2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$

P' = (1, 1, 4)

点 Q(-1,2,4) の像 Q' を求める：

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1*(-1) + (-2)*2 + 3*4 \\ 0*(-1) + (-1)*2 + 2*4 \\ 2*(-1) + 2*2 + (-2)*4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 6 \\ -6 \end{pmatrix}$

Q' = (7, 6, -6)

点 R(2,-2,0) の像 R' を求める：

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1*2 + (-2)*(-2) + 3*0 \\ 0*2 + (-1)*(-2) + 2*0 \\ 2*2 + 2*(-2) + (-2)*0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$

R' = (6, 2, 0)

(3) 行列 $\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

点 P(3,2) の像 P' を求める：

$\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2*3 + 1*2 \\ 3*3 + (-1)*2 \\ 0*3 + 2*2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 7 \\ 4 \end{pmatrix}$

P' = (-4, 7, 4)

点 Q(-1,4) の像 Q' を求める：

$\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2*(-1) + 1*4 \\ 3*(-1) + (-1)*4 \\ 0*(-1) + 2*4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 8 \end{pmatrix}$

Q' = (6, -7, 8)

点 R(2,-2) の像 R' を求める：

$\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2*2 + 1*(-2) \\ 3*2 + (-1)*(-2) \\ 0*2 + 2*(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix}$

R' = (-6, 8, -4)

3. 最終的な答え

(1) P' = (0, 1), Q' = (14, 9), R' = (-10, -6)

(2) P' = (1, 1, 4), Q' = (7, 6, -6), R' = (6, 2, 0)

(3) P' = (-4, 7, 4), Q' = (6, -7, 8), R' = (-6, 8, -4)