$g(x) = -x + 1$ とする。 $(f \circ f)(x) = x$ かつ $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ を満たす 1 次関数 $f(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

$g(x) = -x + 1$ とする。

$(f \circ f)(x) = x$ かつ $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ を満たす 1 次関数 $f(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$f(x)$ は 1 次関数なので、$f(x) = ax + b$ とおける。

条件 $(f \circ f)(x) = x$ より、

$f(f(x)) = f(ax+b) = a(ax+b) + b = a^2x + ab + b = x$

これがすべての $x$ で成り立つので、$a^2 = 1$ かつ $ab + b = 0$。

$a^2 = 1$ より、$a = 1$ または $a = -1$。

(i) $a = 1$ のとき、$b + b = 0$ より、$2b = 0$ なので $b = 0$。

このとき、$f(x) = x$。

(ii) $a = -1$ のとき、$-b + b = 0$ となり、$b$ は任意。

このとき、$f(x) = -x + b$。

次に、条件 $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ を考える。

(i) $f(x) = x$ のとき、

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(-x + 1) = -x + 1$

$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x) = -x + 1$

となり、$(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ は成り立つ。

(ii) $f(x) = -x + b$ のとき、

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(-x + 1) = -(-x + 1) + b = x - 1 + b$

$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(-x + b) = -(-x + b) + 1 = x - b + 1$

$(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ より、$x - 1 + b = x - b + 1$。

$-1 + b = -b + 1$ より、$2b = 2$ なので、$b = 1$。

このとき、$f(x) = -x + 1$。

したがって、$f(x) = x$ または $f(x) = -x + 1$。

3. 最終的な答え

$f(x) = x$ または $f(x) = -x + 1$