行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ による変換で、平面 $2x + 3y - 3z - 6 = 0$ はどのような図形になるか。

1. 問題の内容

行列

$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

による変換で、平面 $2x + 3y - 3z - 6 = 0$ はどのような図形になるか。

2. 解き方の手順

まず、変換後の座標を $(x', y', z')$ とすると、

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$

つまり、

$x' = x - y$

$y' = y + 2z$

$z' = 2x - y + z$

これらの式から、変換前の座標 $x, y, z$ を $x', y', z'$ で表すことを目指します。

$x' = x - y$ より、$x = x' + y$

これを $z' = 2x - y + z$ に代入すると、$z' = 2(x' + y) - y + z = 2x' + y + z$

$y' = y + 2z$ より、$y = y' - 2z$

これを $z' = 2x' + y + z$ に代入すると、$z' = 2x' + (y' - 2z) + z = 2x' + y' - z$

したがって、$z = 2x' + y' - z'$

これを $y = y' - 2z$ に代入すると、$y = y' - 2(2x' + y' - z') = y' - 4x' - 2y' + 2z' = -4x' - y' + 2z'$

$x = x' + y$ に $y = -4x' - y' + 2z'$ を代入すると、$x = x' + (-4x' - y' + 2z') = -3x' - y' + 2z'$

$x = -3x' - y' + 2z'$

$y = -4x' - y' + 2z'$

$z = 2x' + y' - z'$

これらを $2x + 3y - 3z - 6 = 0$ に代入します。

$2(-3x' - y' + 2z') + 3(-4x' - y' + 2z') - 3(2x' + y' - z') - 6 = 0$

$-6x' - 2y' + 4z' - 12x' - 3y' + 6z' - 6x' - 3y' + 3z' - 6 = 0$

$-24x' - 8y' + 13z' - 6 = 0$

$24x' + 8y' - 13z' + 6 = 0$

3. 最終的な答え

平面 $24x + 8y - 13z + 6 = 0$