行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 7 & 8 \\ 3 & 7 & 1 & 12 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の行列を求めます。 (1) $A^2$ (2) $AB$ (3) $B - 3A$ (これは行列のサイズが合わないので、問題が間違っている可能性があります。ここでは、$3A$を計算して、$B$の最初の3列から引くものと解釈します。)

## 問題 Ex11

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 7 & 8 \\ 3 & 7 & 1 & 12 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の行列を求めます。

(1) $A^2$

(2) $AB$

(3) $B - 3A$ (これは行列のサイズが合わないので、問題が間違っている可能性があります。ここでは、$3A$を計算して、$B$の最初の3列から引くものと解釈します。)

2. 解き方の手順

(1) $A^2$ は $A$ と $A$ の行列の積です。

$A^2 = A \times A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(2) $AB$ は $A$ と $B$ の行列の積です。

$AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 7 & 8 \\ 3 & 7 & 1 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 17 & 20 & 32 \\ 2 & 4 & 7 & 8 \\ 3 & 7 & 1 & 12 \end{pmatrix}$

(3) ここで、$3A$の最初の3列の行列を計算します。

$3A = \begin{pmatrix} 3 & 6 & 3 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

$B$の最初の3列は$B' = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 7 \\ 3 & 7 & 1 \end{pmatrix}$です。

$B' - 3A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 7 \\ 3 & 7 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 6 & 3 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -4 & 0 \\ 2 & 1 & 7 \\ 3 & 7 & -2 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(2) $AB = \begin{pmatrix} 8 & 17 & 20 & 32 \\ 2 & 4 & 7 & 8 \\ 3 & 7 & 1 & 12 \end{pmatrix}$

(3) $B' - 3A = \begin{pmatrix} -2 & -4 & 0 \\ 2 & 1 & 7 \\ 3 & 7 & -2 \end{pmatrix}$

## 問題 Ex12

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} x & 1 \\ 2 & y \end{pmatrix}$ が与えられたとき、$AB = BA$ を満たすための $x$ と $y$ の関係を求めます。

2. 解き方の手順

$AB$ と $BA$ を計算します。

$AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & 1 \\ 2 & y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+4 & 1+2y \\ 4x+6 & 4+3y \end{pmatrix}$

$BA = \begin{pmatrix} x & 1 \\ 2 & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+4 & 2x+3 \\ 2+4y & 4+3y \end{pmatrix}$

$AB = BA$ より、各成分が等しくなります。

$x+4 = x+4$ (これは常に成り立つ)

$1+2y = 2x+3$

$4x+6 = 2+4y$

$4+3y = 4+3y$ (これは常に成り立つ)

したがって、次の連立方程式を解きます。

$2y = 2x + 2 \implies y = x+1$

$4x+6 = 2+4y \implies 4x+4 = 4y \implies x+1 = y$

したがって、$x$ と $y$ の関係は $y = x+1$ です。

3. 最終的な答え

$y = x + 1$