$x + y = 1$ かつ $0 \le x \le 2$ のとき、$x - 2y^2$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$x + y = 1$ かつ $0 \le x \le 2$ のとき、$x - 2y^2$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x + y = 1$ より、$y = 1 - x$ となる。

これを $x - 2y^2$ に代入すると、

$x - 2(1-x)^2 = x - 2(1 - 2x + x^2) = x - 2 + 4x - 2x^2 = -2x^2 + 5x - 2$

となる。

$f(x) = -2x^2 + 5x - 2$ とおく。

この関数の最大値と最小値を $0 \le x \le 2$ の範囲で求める。

$f(x) = -2(x^2 - \frac{5}{2}x) - 2 = -2(x - \frac{5}{4})^2 + 2(\frac{25}{16}) - 2 = -2(x - \frac{5}{4})^2 + \frac{25}{8} - \frac{16}{8} = -2(x - \frac{5}{4})^2 + \frac{9}{8}$

よって、$f(x)$ は $x = \frac{5}{4}$ で最大値 $\frac{9}{8}$ をとる。

また、$0 \le x \le 2$ なので、端点の値を調べる。

$f(0) = -2(0)^2 + 5(0) - 2 = -2$

$f(2) = -2(2)^2 + 5(2) - 2 = -8 + 10 - 2 = 0$

したがって、最小値は $-2$ である。

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{9}{8}$

最小値: $-2$