実数 $x$, $y$ について、命題「$x + y > 5$ ならば $x > 3$ または $y > 2$」を対偶を考えて証明します。

## 問題1 (1)

1. **問題の内容**

実数 $x$, $y$ について、命題「$x + y > 5$ ならば $x > 3$ または $y > 2$」を対偶を考えて証明します。

2. **解き方の手順**

* 元の命題の対偶を作ります。対偶は「$x \leq 3$ かつ $y \leq 2$ ならば $x + y \leq 5$」となります。

* この対偶が真であることを証明します。

$x \leq 3$ かつ $y \leq 2$ のとき、両辺を足し合わせると

$x + y \leq 3 + 2$

$x + y \leq 5$

したがって、対偶「$x \leq 3$ かつ $y \leq 2$ ならば $x + y \leq 5$」は真です。

対偶が真であるとき、元の命題も真です。

3. **最終的な答え**

元の命題「$x + y > 5$ ならば $x > 3$ または $y > 2$」は真である。

## 問題1 (2)

1. **問題の内容**

実数 $y$ について、命題「$y^2 \neq y$ ならば $y \neq 1$」を対偶を考えて証明します。

2. **解き方の手順**

* 元の命題の対偶を作ります。対偶は「$y = 1$ ならば $y^2 = y$」となります。

* この対偶が真であることを証明します。

$y = 1$ のとき、$y^2 = 1^2 = 1 = y$

したがって、対偶「$y = 1$ ならば $y^2 = y$」は真です。

対偶が真であるとき、元の命題も真です。

3. **最終的な答え**

元の命題「$y^2 \neq y$ ならば $y \neq 1$」は真である。

## 問題2 (1)

1. **問題の内容**

すべての実数 $x$, $y$ について、命題「$x + y > a$ ならば $x > a - b$ または $y > b$」を対偶を利用して証明します。

2. **解き方の手順**

* 元の命題の対偶を作ります。対偶は「$x \leq a - b$ かつ $y \leq b$ ならば $x + y \leq a$」となります。

* この対偶が真であることを証明します。

$x \leq a - b$ かつ $y \leq b$ のとき、両辺を足し合わせると

$x + y \leq (a - b) + b$

$x + y \leq a$

したがって、対偶「$x \leq a - b$ かつ $y \leq b$ ならば $x + y \leq a$」は真です。

対偶が真であるとき、元の命題も真です。

3. **最終的な答え**

元の命題「$x + y > a$ ならば $x > a - b$ または $y > b$」は真である。

## 問題2 (2)

1. **問題の内容**

$x$ についての方程式 $ax + b = 0$ がただ一つの解をもつならば $a \neq 0$ を、対偶を利用して証明します。

2. **解き方の手順**

* 元の命題の対偶を作ります。対偶は「$a = 0$ ならば、方程式 $ax + b = 0$ はただ一つの解をもたない」となります。

* この対偶が真であることを証明します。

$a = 0$ のとき、方程式は $0x + b = 0$ となります。

* $b \neq 0$ の場合、この方程式を満たす $x$ は存在しません（解なし）。

* $b = 0$ の場合、すべての $x$ がこの方程式を満たします（不定、解は無数に存在）。

いずれの場合も、方程式 $0x + b = 0$ はただ一つの解を持つことはありません。したがって、対偶「$a = 0$ ならば、方程式 $ax + b = 0$ はただ一つの解をもたない」は真です。対偶が真であるとき、元の命題も真です。

3. **最終的な答え**

元の命題「$x$ についての方程式 $ax + b = 0$ がただ一つの解をもつならば $a \neq 0$」は真である。