$p, q$ を実数とする。関数 $f(x) = x^2 + px + q$ の $-1 \le x \le 2$ における最小値が $0$ 以上となる点 $(p, q)$ 全体からなる領域を $D$ とする。 (1) $pq$ 平面上に領域 $D$ を図示せよ。 (2) $D$ の点 $(p, q)$ で $q \le 5$ を満たすもの全体のなす図形の面積を求めよ。

1. 問題の内容

$p, q$ を実数とする。関数 $f(x) = x^2 + px + q$ の $-1 \le x \le 2$ における最小値が $0$ 以上となる点 $(p, q)$ 全体からなる領域を $D$ とする。

(1) $pq$ 平面上に領域 $D$ を図示せよ。

(2) $D$ の点 $(p, q)$ で $q \le 5$ を満たすもの全体のなす図形の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^2 + px + q = (x + \frac{p}{2})^2 - \frac{p^2}{4} + q$

軸 $x = -\frac{p}{2}$ の位置によって場合分けをする。

(i) $-\frac{p}{2} < -1$ つまり $p > 2$ のとき、$-1 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最小値は $f(-1) = 1 - p + q$ である。よって、$1 - p + q \ge 0$ より $q \ge p - 1$。

(ii) $-1 \le -\frac{p}{2} \le 2$ つまり $-4 \le p \le 2$ のとき、$-1 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最小値は $f(-\frac{p}{2}) = -\frac{p^2}{4} + q$ である。よって、$-\frac{p^2}{4} + q \ge 0$ より $q \ge \frac{p^2}{4}$。

(iii) $-\frac{p}{2} > 2$ つまり $p < -4$ のとき、$-1 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最小値は $f(2) = 4 + 2p + q$ である。よって、$4 + 2p + q \ge 0$ より $q \ge -2p - 4$。

したがって、領域 $D$ は、

$p > 2$ のとき $q \ge p - 1$

$-4 \le p \le 2$ のとき $q \ge \frac{p^2}{4}$

$p < -4$ のとき $q \ge -2p - 4$

で表される領域である。

(2) 領域 $D$ において $q \le 5$ を満たす領域の面積を求める。

$p > 2$ のとき、$p - 1 \le q \le 5$ より、$p - 1 = 5$ となる $p$ は $p = 6$。よって、$2 < p \le 6$ で $p-1 \le q \le 5$。

$-4 \le p \le 2$ のとき、$\frac{p^2}{4} \le q \le 5$。

$p < -4$ のとき、$-2p - 4 \le q \le 5$ より、$-2p - 4 = 5$ となる $p$ は $p = -\frac{9}{2} = -4.5$。よって、$p \le -4.5$ で $-2p - 4 \le q \le 5$。

求める面積 $S$ は、

$S = \int_{-4.5}^{-4} (5 - (-2p - 4)) dp + \int_{-4}^{2} (5 - \frac{p^2}{4}) dp + \int_{2}^{6} (5 - (p-1)) dp$

$= \int_{-4.5}^{-4} (9 + 2p) dp + \int_{-4}^{2} (5 - \frac{p^2}{4}) dp + \int_{2}^{6} (6 - p) dp$

$= [9p + p^2]_{-4.5}^{-4} + [5p - \frac{p^3}{12}]_{-4}^{2} + [6p - \frac{p^2}{2}]_{2}^{6}$

$= (9(-4) + (-4)^2) - (9(-4.5) + (-4.5)^2) + (5(2) - \frac{2^3}{12}) - (5(-4) - \frac{(-4)^3}{12}) + (6(6) - \frac{6^2}{2}) - (6(2) - \frac{2^2}{2})$

$= (-36 + 16) - (-40.5 + 20.25) + (10 - \frac{8}{12}) - (-20 - \frac{-64}{12}) + (36 - 18) - (12 - 2)$

$= -20 - (-20.25) + 10 - \frac{2}{3} + 20 - \frac{16}{3} + 18 - 10$

$= 0.25 + 30 - \frac{18}{3} + 8 = 0.25 + 30 - 6 + 8 = 32.25$

3. 最終的な答え

(1) 領域 D の図示：

$p > 2$ のとき $q \ge p - 1$

$-4 \le p \le 2$ のとき $q \ge \frac{p^2}{4}$

$p < -4$ のとき $q \ge -2p - 4$

(2) 面積: $\frac{129}{4} = 32.25$