与えられた4つの行列式の値を計算する問題です。 (1)は4x4行列、(2)も4x4行列、(3)も4x4行列、(4)も4x4行列です。
2025/7/28
はい、承知いたしました。行列式の問題を解きます。
1. 問題の内容
与えられた4つの行列式の値を計算する問題です。
(1)は4x4行列、(2)も4x4行列、(3)も4x4行列、(4)も4x4行列です。
2. 解き方の手順
行列式の計算は、様々な方法がありますが、ここでは以下のいずれかの方法で計算します。
* 行または列に関する余因子展開
* 行基本変形による簡約化
(1)
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
3 & 2 & 5 & 7 \\
3^2 & 2^2 & 5^2 & 7^2 \\
3^3 & 2^3 & 5^3 & 7^3
\end{vmatrix}
これはヴァンデルモンドの行列式なので、
(2-3)(5-3)(7-3)(5-2)(7-2)(7-5) = (-1)(2)(4)(3)(5)(2) = -240
(2)
\begin{vmatrix}
3 & 2^2 & 1 & 1 \\
3^2 & 2^3 & 1 & 7 \\
3^3 & 2^4 & 1 & 7^2 \\
3^4 & 2^5 & 1 & 7^3
\end{vmatrix}
第3列について展開すると複雑になるので、第3列を他の列に足し引きして0を増やします。
\begin{vmatrix}
3 & 4 & 1 & 1 \\
9 & 8 & 1 & 7 \\
27 & 16 & 1 & 49 \\
81 & 32 & 1 & 343
\end{vmatrix}
1行目を-1倍して2行目に足す、1行目を-1倍して3行目に足す、1行目を-1倍して4行目に足す操作をします。
\begin{vmatrix}
3 & 4 & 1 & 1 \\
6 & 4 & 0 & 6 \\
24 & 12 & 0 & 48 \\
78 & 28 & 0 & 342
\end{vmatrix}
第3列で余因子展開すると、
1 * \begin{vmatrix}
6 & 4 & 6 \\
24 & 12 & 48 \\
78 & 28 & 342
\end{vmatrix}
6*12*6 *\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
4 & 2 & 8 \\
13 & 7 & 57
\end{vmatrix}
= 432 \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
4 & 2 & 8 \\
13 & 7 & 57
\end{vmatrix}
1列目を-1倍して2列目に足す、1列目を-1倍して3列目に足す操作をします。
432 \begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 \\
4 & -2 & 4 \\
13 & -6 & 44
\end{vmatrix}
432 * (-2*44 - (-6)*4) = 432 * (-88 + 24) = 432 * (-64) = -27648
(3)
\begin{vmatrix}
2^3 & 1 & 2^2 & 2 \\
-3^3 & 1 & 3^2 & -3 \\
7^3 & 1 & 7^2 & 7 \\
5^3 & 1 & 5^2 & 5
\end{vmatrix}
= \begin{vmatrix}
8 & 1 & 4 & 2 \\
-27 & 1 & 9 & -3 \\
343 & 1 & 49 & 7 \\
125 & 1 & 25 & 5
\end{vmatrix}
2列目に関して余因子展開を行うと、少し計算が楽になるかもしれません。
A = 8, B = 4, C = 2 \\
D = -27, E = 9, F = -3 \\
G = 343, H = 49, I = 7 \\
J = 125, K = 25, L = 5
行列式 =
- \begin{vmatrix}
D & E & F \\
G & H & I \\
J & K & L
\end{vmatrix}
+ \begin{vmatrix}
A & B & C \\
G & H & I \\
J & K & L
\end{vmatrix}
- \begin{vmatrix}
A & B & C \\
D & E & F \\
J & K & L
\end{vmatrix}
+ \begin{vmatrix}
A & B & C \\
D & E & F \\
G & H & I
\end{vmatrix}
= - \begin{vmatrix}
-27 & 9 & -3 \\
343 & 49 & 7 \\
125 & 25 & 5
\end{vmatrix}
+ \begin{vmatrix}
8 & 4 & 2 \\
343 & 49 & 7 \\
125 & 25 & 5
\end{vmatrix}
- \begin{vmatrix}
8 & 4 & 2 \\
-27 & 9 & -3 \\
125 & 25 & 5
\end{vmatrix}
+ \begin{vmatrix}
8 & 4 & 2 \\
-27 & 9 & -3 \\
343 & 49 & 7
\end{vmatrix}
第１項 = -(-27 * 49 * 5 + 9 * 7 * 125 + (-3) * 343 * 25 - (-3) * 49 * 125 - (-27) * 7 * 25 - 9 * 343 * 5) = -(-6615 + 7875 - 25725 + 18375 + 4725 - 15435) = -(-16800) = 16800
第２項 = (8 * 49 * 5 + 4 * 7 * 125 + 2 * 343 * 25 - 2 * 49 * 125 - 8 * 7 * 25 - 4 * 343 * 5) = (1960 + 3500 + 17150 - 12250 - 1400 - 6860) = 1960 + 3500 + 17150 - 12250 - 1400 - 6860 = 16800
第３項 = -(8 * 9 * 5 + 4 * (-3) * 125 + 2 * (-27) * 25 - 2 * 9 * 125 - 8 * (-3) * 25 - 4 * (-27) * 5) = -(360 - 1500 - 1350 - 2250 + 600 + 540) = -(-3600) = 3600
第４項 = (8 * 9 * 7 + 4 * (-3) * 343 + 2 * (-27) * 49 - 2 * 9 * 343 - 8 * (-3) * 49 - 4 * (-27) * 7) = (504 - 4116 - 2646 - 6174 + 1176 + 756) = (504 - 4116 - 2646 - 6174 + 1176 + 756) = -10500
16800 + 16800 + 3600 - 10500 = 26700
(4)
\begin{vmatrix}
1 & 4 & 4^3 & 4^2 \\
2^2 & 2^3 & 2^5 & 2^4 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & -2^2 & -2^4 & 2^3
\end{vmatrix}
= \begin{vmatrix}
1 & 4 & 64 & 16 \\
4 & 8 & 32 & 16 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & -4 & -16 & 8
\end{vmatrix}
3行目と1行目を入れ替える
- \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
4 & 8 & 32 & 16 \\
1 & 4 & 64 & 16 \\
2 & -4 & -16 & 8
\end{vmatrix}
1列目を-4倍して2列目に足す、1列目を-64倍して3列目に足す、1列目を-16倍して4列目に足す操作をします。
- \begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
4 & -16 & -224 & -48 \\
1 & 0 & -60 & -12 \\
2 & -8 & -48 & 0
\end{vmatrix}
= - \begin{vmatrix}
-16 & -224 & -48 \\
0 & -60 & -12 \\
-8 & -48 & 0
\end{vmatrix}
= -(-16 * (-60) * 0 + (-224) * (-12) * (-8) + (-48) * 0 * (-48) - (-48) * (-60) * (-8) - (-16) * (-12) * (-48) - (-224) * 0 * 0) = - (0 - 21504 + 0 - 23040 - 9216 - 0) = - (-53760) = 53760
3. 最終的な答え
(1) -240
(2) -27648
(3) 26700
(4) 53760