問題文は、以下の3つの小問から構成されています。 (1) 2つの不等式 $\frac{x+3}{4} \leq \frac{3x-1}{2}$ と $\frac{x-2a}{3} \leq \frac{x-4}{5}$ をそれぞれ解きます。 (2) 不等式(1)と(2)を同時に満たす整数がちょうど2個存在するような、$a$ の値の範囲を求めます。 (3) 2次方程式 $x^2 - (2a+1)x + a^2+a = 0$ の2つの解がともに不等式(1)と(2)の共通範囲内にあるような、$a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

問題文は、以下の3つの小問から構成されています。

(1) 2つの不等式 $\frac{x+3}{4} \leq \frac{3x-1}{2}$ と $\frac{x-2a}{3} \leq \frac{x-4}{5}$ をそれぞれ解きます。

(2) 不等式(1)と(2)を同時に満たす整数がちょうど2個存在するような、$a$ の値の範囲を求めます。

(3) 2次方程式 $x^2 - (2a+1)x + a^2+a = 0$ の2つの解がともに不等式(1)と(2)の共通範囲内にあるような、$a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

不等式(1): $\frac{x+3}{4} \leq \frac{3x-1}{2}$ を解きます。

両辺に4を掛けて、$x+3 \leq 2(3x-1)$

$x+3 \leq 6x-2$

$-5x \leq -5$

$x \geq 1$

不等式(2): $\frac{x-2a}{3} \leq \frac{x-4}{5}$ を解きます。

両辺に15を掛けて、$5(x-2a) \leq 3(x-4)$

$5x-10a \leq 3x-12$

$2x \leq 10a-12$

$x \leq 5a-6$

(2)

不等式(1)と(2)を同時に満たす整数がちょうど2個存在する条件を考えます。

不等式(1)より $x \geq 1$ であり、不等式(2)より $x \leq 5a-6$ です。したがって、共通範囲は $1 \leq x \leq 5a-6$ となります。

この範囲に整数がちょうど2個存在するため、$x=1, 2$ がこの範囲に含まれ、$x=3$ は含まれない必要があります。

したがって、$2 \leq 5a-6 < 3$ が成り立ちます。

$2 \leq 5a-6$ より、$8 \leq 5a$ なので、$a \geq \frac{8}{5}$

$5a-6 < 3$ より、$5a < 9$ なので、$a < \frac{9}{5}$

したがって、$\frac{8}{5} \leq a < \frac{9}{5}$

(3)

2次方程式 $x^2 - (2a+1)x + a^2+a = 0$ を解きます。

因数分解すると、 $(x-a)(x-(a+1))=0$

よって、解は $x=a$ と $x=a+1$

2つの解 $a$ と $a+1$ がともに不等式(1)と(2)の共通範囲内にある必要があります。

つまり、$1 \leq a \leq 5a-6$ と $1 \leq a+1 \leq 5a-6$ が成り立つ必要があります。

$1 \leq a$ はそのまま

$a \leq 5a-6$ より、 $6 \leq 4a$ なので、$a \geq \frac{3}{2}$

$1 \leq a+1$ より、$0 \leq a$。これは常に成り立ちます。

$a+1 \leq 5a-6$ より、$7 \leq 4a$ なので、$a \geq \frac{7}{4}$

したがって、$a \geq \frac{7}{4}$

また、$\frac{x+3}{4} \leq \frac{3x-1}{2}$ と $\frac{x-2a}{3} \leq \frac{x-4}{5}$ の共通範囲にa, a+1が含まれる必要があるので、$x \geq 1$ と $x \leq 5a-6$ にa, a+1が含まれる必要があります。

$a \leq 5a-6$ より、$a \geq \frac{3}{2}$

$a+1 \leq 5a-6$ より、$a \geq \frac{7}{4}$

$1 \leq a$

$1 \leq a+1$ より、$0 \leq a$

また、$a \leq 5a-6$ and $a+1 \leq 5a-6$なので $a \geq 7/4$

求める範囲は $7/4 \leq a$かつ、$a, a+1 \leq 5a - 6$なので、$5a-6$はa, a+1より大きい必要がある.

$a \leq 5a-6$より、$a \geq \frac{3}{2}$

$a+1 \leq 5a-6$より、$a \geq \frac{7}{4}$

したがって、$a \geq \frac{7}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $x \geq 1$, $x \leq 5a-6$

(2) $\frac{8}{5} \leq a < \frac{9}{5}$

(3) $a \geq \frac{7}{4}$