ある等比数列の初項から第 $n$ 項までの和が 54、初項から第 $2n$ 項までの和が 63 であるとき、この等比数列の初項から第 $3n$ 項までの和を求めよ。

1. 問題の内容

ある等比数列の初項から第 $n$ 項までの和が 54、初項から第 $2n$ 項までの和が 63 であるとき、この等比数列の初項から第 $3n$ 項までの和を求めよ。

2. 解き方の手順

等比数列の初項を $a$, 公比を $r$ とし、$S_n$ を初項から第 $n$ 項までの和とする。

問題文より、

$S_n = 54$

$S_{2n} = 63$

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} = 54$

$S_{2n} = \frac{a(1-r^{2n})}{1-r} = 63$

$S_{2n} = \frac{a(1-r^n)(1+r^n)}{1-r} = 63$

$\frac{a(1-r^n)}{1-r} (1+r^n) = 63$

$54(1+r^n) = 63$

$1+r^n = \frac{63}{54} = \frac{7}{6}$

$r^n = \frac{7}{6} - 1 = \frac{1}{6}$

$S_{3n} = \frac{a(1-r^{3n})}{1-r} = \frac{a(1-(r^n)^3)}{1-r}$

$S_{3n} = \frac{a(1-r^n)}{1-r} (1+r^n+(r^n)^2)$

$S_{3n} = 54 (1+\frac{1}{6}+(\frac{1}{6})^2)$

$S_{3n} = 54 (1+\frac{1}{6}+\frac{1}{36}) = 54 (\frac{36+6+1}{36}) = 54 (\frac{43}{36}) = \frac{3}{2} \times 43 = \frac{129}{2} = 64.5$

3. 最終的な答え

$\frac{129}{2}$