$1 \le x \le 27$ のとき、関数 $y = (\log_3 x)^2 - \log_3 x^2 - 3$ の最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

$1 \le x \le 27$ のとき、関数 $y = (\log_3 x)^2 - \log_3 x^2 - 3$ の最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を簡単にする。

$\log_3 x^2 = 2 \log_3 x$ であるから、

$y = (\log_3 x)^2 - 2\log_3 x - 3$ となる。

ここで、$t = \log_3 x$ とおくと、$y = t^2 - 2t - 3$ となる。

$1 \le x \le 27$ であるから、$\log_3 1 \le \log_3 x \le \log_3 27$ より、

$0 \le t \le 3$ である。

$y = t^2 - 2t - 3 = (t-1)^2 - 4$

この関数は、$0 \le t \le 3$ の範囲で、$t=1$ のとき最小値 $-4$ をとる。

$t=0$ のとき $y = (0-1)^2 - 4 = -3$

$t=3$ のとき $y = (3-1)^2 - 4 = 0$

したがって、$t=3$ のとき最大値 $0$ をとる。

$t = \log_3 x$ であるから、

$t=1$ のとき、$\log_3 x = 1$ より、$x = 3^1 = 3$

$t=3$ のとき、$\log_3 x = 3$ より、$x = 3^3 = 27$

3. 最終的な答え

最大値: $0$ ($x=27$ のとき)

最小値: $-4$ ($x=3$ のとき)