2次関数 $y = ax^2 + bx + 1$ が $x = -1$ のとき最大値3をとる。このとき、$a$ と $b$ の値を求める。

## 問題1

1. 問題の内容

2次関数 $y = ax^2 + bx + 1$ が $x = -1$ のとき最大値3をとる。このとき、$a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数が最大値を持つことから、$a<0$ であることがわかる。

また、頂点のx座標が$x = -1$であることから、平方完成した形は

$y = a(x + 1)^2 + 3$

と表せる。

これを展開すると、

$y = a(x^2 + 2x + 1) + 3 = ax^2 + 2ax + a + 3$

となる。

与えられた関数 $y = ax^2 + bx + 1$ と係数を比較すると、

$b = 2a$

$1 = a + 3$

となる。

2つ目の式より、

$a = 1 - 3 = -2$

が得られる。

これを1つ目の式に代入すると、

$b = 2a = 2(-2) = -4$

が得られる。

3. 最終的な答え

$a = -2$

$b = -4$

## 問題2

1. 問題の内容

関数 $y = |2x^2 - 7x + 3|$ ($0 \le x \le 2$) の最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = 2x^2 - 7x + 3$ とおく。

$f(x)$ のグラフを描くために、平方完成を行う。

$f(x) = 2(x^2 - \frac{7}{2}x) + 3 = 2(x - \frac{7}{4})^2 - 2(\frac{7}{4})^2 + 3$

$f(x) = 2(x - \frac{7}{4})^2 - \frac{49}{8} + \frac{24}{8} = 2(x - \frac{7}{4})^2 - \frac{25}{8}$

頂点の座標は $(\frac{7}{4}, -\frac{25}{8})$ である。

$f(x) = 0$ となる $x$ の値を求める。

$2x^2 - 7x + 3 = 0$

$(2x - 1)(x - 3) = 0$

$x = \frac{1}{2}, 3$

$y = |f(x)|$ なので、$f(x)$ のグラフの $x$ 軸より下の部分を $x$ 軸に関して折り返す。

定義域は $0 \le x \le 2$ である。

$x = 0$ のとき、$y = |f(0)| = |3| = 3$

$x = 2$ のとき、$y = |f(2)| = |2(4) - 7(2) + 3| = |8 - 14 + 3| = |-3| = 3$

$x = \frac{1}{2}$ のとき、$y = |f(\frac{1}{2})| = 0$

$x = \frac{7}{4}$ は定義域外。

$y = |2(x - \frac{7}{4})^2 - \frac{25}{8}|$ の頂点は、折り返したとき ($\frac{7}{4}, \frac{25}{8}$) となるが、定義域外なので考慮しない。

定義域の両端と、$f(x)=0$となる点を考慮すると、

$x = 0, 2$ のとき $y = 3$

$x = \frac{1}{2}$ のとき $y = 0$

したがって、最大値は 3、最小値は 0 となる。

最大値を達成する $x$ の値は $x=0, 2$

最小値を達成する $x$ の値は $x = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$x = 0, 2$ で最大値 $3$ をとり、$x = \frac{1}{2}$ で最小値 $0$ をとる。