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与えられた3つの行列について、掃き出し法を用いて逆行列を求める問題です。

代数学行列逆行列線形代数掃き出し法
2025/7/28

1. 問題の内容

与えられた3つの行列について、掃き出し法を用いて逆行列を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 行列 A=[1423]A = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} の逆行列を求める。
- 拡大行列 [14102301]\begin{bmatrix} 1 & 4 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 1 \end{bmatrix} を作る。
- 2行目から1行目の2倍を引く: [14100−5−21]\begin{bmatrix} 1 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & -5 & -2 & 1 \end{bmatrix}
- 2行目を-5で割る: [14100125−15]\begin{bmatrix} 1 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \end{bmatrix}
- 1行目から2行目の4倍を引く: [10−35450125−15]\begin{bmatrix} 1 & 0 & -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \end{bmatrix}
- したがって、A−1=[−354525−15]A^{-1} = \begin{bmatrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \end{bmatrix}
(2) 行列 B=[12023401−3]B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & -3 \end{bmatrix} の逆行列を求める。
- 拡大行列 [12010023401001−3001]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} を作る。
- 2行目から1行目の2倍を引く: [1201000−14−21001−3001]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 4 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
- 2行目に-1を掛ける: [12010001−42−1001−3001]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
- 1行目から2行目の2倍を引く: [108−32001−42−1001−3001]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 8 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
- 3行目から2行目を引く: [108−32001−42−10001−211]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 8 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 1 \end{bmatrix}
- 1行目から3行目の8倍を引く: [10013−6−801−42−10001−211]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 13 & -6 & -8 \\ 0 & 1 & -4 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 1 \end{bmatrix}
- 2行目に3行目の4倍を足す: [10013−6−8010−634001−211]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 13 & -6 & -8 \\ 0 & 1 & 0 & -6 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 1 \end{bmatrix}
- したがって、B−1=[13−6−8−634−211]B^{-1} = \begin{bmatrix} 13 & -6 & -8 \\ -6 & 3 & 4 \\ -2 & 1 & 1 \end{bmatrix}
(3) 行列 C=[21−320−231−1]C = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -3 \\ 2 & 0 & -2 \\ 3 & 1 & -1 \end{bmatrix} の逆行列を求める。
- 拡大行列 [21−310020−201031−1001]\begin{bmatrix} 2 & 1 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} を作る。
- 1行目を2で割る: [112−32120020−201031−1001]\begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
- 2行目から1行目の2倍を引く: [112−3212000−11−11031−1001]\begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
- 3行目から1行目の3倍を引く: [112−3212000−11−1100−1272−3201]\begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & \frac{7}{2} & -\frac{3}{2} & 0 & 1 \end{bmatrix}
- 2行目に-1を掛ける: [112−32120001−11−100−1272−3201]\begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & \frac{7}{2} & -\frac{3}{2} & 0 & 1 \end{bmatrix}
- 1行目から2行目の12\frac{1}{2}倍を引く: [10−1012001−11−100−1272−3201]\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & \frac{7}{2} & -\frac{3}{2} & 0 & 1 \end{bmatrix}
- 3行目に2行目の12\frac{1}{2}倍を足す: [10−1012001−11−10003−1−121]\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & -1 & -\frac{1}{2} & 1 \end{bmatrix}
- 3行目を3で割る: [10−1012001−11−10001−13−1613]\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} \end{bmatrix}
- 1行目に3行目を足す: [100−13131301−11−10001−13−1613]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} \end{bmatrix}
- 2行目に3行目を足す: [100−13131301023−7613001−13−1613]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{3} & -\frac{7}{6} & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} \end{bmatrix}
- したがって、C−1=[−13131323−7613−13−1613]=16[−2224−72−2−12]C^{-1} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} & -\frac{7}{6} & \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{3} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} \end{bmatrix} = \frac{1}{6}\begin{bmatrix} -2 & 2 & 2 \\ 4 & -7 & 2 \\ -2 & -1 & 2 \end{bmatrix}

3. 最終的な答え

(1) [−354525−15]\begin{bmatrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \end{bmatrix}
(2) [13−6−8−634−211]\begin{bmatrix} 13 & -6 & -8 \\ -6 & 3 & 4 \\ -2 & 1 & 1 \end{bmatrix}
(3) 16[−2224−72−2−12]\frac{1}{6}\begin{bmatrix} -2 & 2 & 2 \\ 4 & -7 & 2 \\ -2 & -1 & 2 \end{bmatrix}

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