実数 $a$ を定数とし、$x$ の関数 $f(x) = ax^2 + 4ax + a^2 - 1$ を考える。区間 $-4 \leq x \leq 1$ における関数 $f(x)$ の最大値が $5$ であるとき、定数 $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $a$ を定数とし、$x$ の関数 $f(x) = ax^2 + 4ax + a^2 - 1$ を考える。区間 $-4 \leq x \leq 1$ における関数 $f(x)$ の最大値が $5$ であるとき、定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = a(x^2 + 4x) + a^2 - 1 = a(x^2 + 4x + 4 - 4) + a^2 - 1 = a(x+2)^2 - 4a + a^2 - 1$

したがって、

$f(x) = a(x+2)^2 + a^2 - 4a - 1$

(i) $a > 0$ のとき：

関数 $f(x)$ は下に凸の放物線である。軸は $x = -2$ で、区間 $-4 \leq x \leq 1$ に含まれる。よって、最大値は $x = 1$ のときにとる。

$f(1) = a(1+2)^2 + a^2 - 4a - 1 = 9a + a^2 - 4a - 1 = a^2 + 5a - 1 = 5$

$a^2 + 5a - 6 = 0$

$(a+6)(a-1) = 0$

$a = -6, 1$

$a > 0$ なので、$a = 1$

(ii) $a < 0$ のとき：

関数 $f(x)$ は上に凸の放物線である。軸は $x = -2$ で、区間 $-4 \leq x \leq 1$ に含まれる。よって、最大値は $x = -2$ のときにとる。

$f(-2) = a(-2+2)^2 + a^2 - 4a - 1 = a^2 - 4a - 1 = 5$

$a^2 - 4a - 6 = 0$

$a = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 24}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 2 \pm \sqrt{10}$

$a < 0$ なので、$a = 2 - \sqrt{10}$

(iii) $a = 0$ のとき：

$f(x) = -1$ となり、最大値は $-1$ であるので、題意を満たさない。

3. 最終的な答え

$a = 1, 2-\sqrt{10}$