実数 $a$ を定数とし、$x$ の関数 $f(x) = ax^2 + 4ax + a^2 - 1$ を考える。区間 $-4 \le x \le 1$ における関数 $f(x)$ の最大値が5であるとき、定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

実数 $a$ を定数とし、$x$ の関数 $f(x) = ax^2 + 4ax + a^2 - 1$ を考える。区間 $-4 \le x \le 1$ における関数 $f(x)$ の最大値が5であるとき、定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$f(x) = ax^2 + 4ax + a^2 - 1$ を平方完成させる。

$f(x) = a(x^2 + 4x) + a^2 - 1 = a(x^2 + 4x + 4 - 4) + a^2 - 1 = a((x+2)^2 - 4) + a^2 - 1 = a(x+2)^2 - 4a + a^2 - 1$

(1) $a > 0$ の場合、下に凸の放物線となる。

軸 $x = -2$ は区間 $-4 \le x \le 1$ に含まれる。

頂点の $y$ 座標は $-4a + a^2 - 1$ で、これが最小値となる。最大値は区間の端点でとる。

$f(-4) = a(-4)^2 + 4a(-4) + a^2 - 1 = 16a - 16a + a^2 - 1 = a^2 - 1$

$f(1) = a(1)^2 + 4a(1) + a^2 - 1 = a + 4a + a^2 - 1 = a^2 + 5a - 1$

$f(1) - f(-4) = (a^2 + 5a - 1) - (a^2 - 1) = 5a$

$a>0$ より $f(1) > f(-4)$ となるので、最大値は $f(1) = a^2 + 5a - 1 = 5$ となる。

$a^2 + 5a - 6 = 0$

$(a+6)(a-1) = 0$

$a = -6, 1$

$a>0$ より $a=1$

(2) $a < 0$ の場合、上に凸の放物線となる。

軸 $x = -2$ は区間 $-4 \le x \le 1$ に含まれる。

頂点の $y$ 座標は $-4a + a^2 - 1$ で、これが最大値となる。

$-4a + a^2 - 1 = 5$

$a^2 - 4a - 6 = 0$

$a = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 2 \pm \sqrt{10}$

$a < 0$ より $a = 2 - \sqrt{10}$

(3) $a = 0$ の場合、$f(x) = -1$ となり最大値が5となることはないので不適。

$a = 1$ の場合、$f(x) = x^2 + 4x$

$f(1) = 1 + 4 = 5$

$f(-4) = 16 - 16 = 0$

軸は $x=-2$ で、$f(-2) = 4 - 8 = -4$

$a = 2 - \sqrt{10}$ の場合、$f(x) = (2 - \sqrt{10})(x+2)^2 - 4(2-\sqrt{10}) + (2-\sqrt{10})^2 - 1$

最大値は $x=-2$ の時で、$-4(2-\sqrt{10}) + (4 - 4\sqrt{10} + 10) - 1 = -8 + 4\sqrt{10} + 14 - 4\sqrt{10} - 1 = 5$

3. 最終的な答え

$a = 1, 2 - \sqrt{10}$