2次関数 $y = x^2 - 2ax + b$ ($0 \le x \le 6$) の最大値が10、最小値が-6であるとき、定数 $a$、$b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2ax + b$ ($0 \le x \le 6$) の最大値が10、最小値が-6であるとき、定数 $a$、$b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2ax + b = (x - a)^2 - a^2 + b$

このグラフは、軸が $x = a$ の下に凸な放物線です。

定義域 $0 \le x \le 6$ における最大値と最小値を考えます。

(i) $a < 0$ のとき

定義域の左端 $x = 0$ で最小となり、右端 $x = 6$ で最大となります。

最小値： $y(0) = b = -6$

最大値： $y(6) = 36 - 12a + b = 36 - 12a - 6 = 30 - 12a = 10$

$12a = 20$

$a = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$

これは $a < 0$ を満たさないので不適。

(ii) $0 \le a \le 6$ のとき

頂点で最小値をとります。

最小値： $y(a) = -a^2 + b = -6$

最大値は、$x = 0$ または $x = 6$ でとります。

$y(0) = b$

$y(6) = 36 - 12a + b$

この２つのうち、どちらが大きいかを比較します。

$|0 - a| = a$

$|6 - a| = 6 - a$

もし $a < 3$ なら、$6 - a > a$ より、$x=6$で最大値。

もし $a > 3$ なら、$6 - a < a$ より、$x=0$で最大値。

もし $a = 3$ なら、$x=0$と$x=6$で同じ最大値。

(iia) $0 \le a \le 3$ のとき

最大値： $y(6) = 36 - 12a + b = 10$

最小値： $y(a) = -a^2 + b = -6$

$b = a^2 - 6$ を $36 - 12a + b = 10$ に代入すると

$36 - 12a + a^2 - 6 = 10$

$a^2 - 12a + 20 = 0$

$(a - 2)(a - 10) = 0$

$a = 2, 10$

$0 \le a \le 3$ より、$a = 2$

$b = 2^2 - 6 = 4 - 6 = -2$

(iib) $3 \le a \le 6$ のとき

最大値： $y(0) = b = 10$

最小値： $y(a) = -a^2 + b = -6$

$-a^2 + 10 = -6$

$a^2 = 16$

$a = \pm 4$

$3 \le a \le 6$ より、$a = 4$

(iii) $a > 6$ のとき

定義域の左端 $x = 0$ で最大となり、右端 $x = 6$ で最小となります。

最大値： $y(0) = b = 10$

最小値： $y(6) = 36 - 12a + b = 36 - 12a + 10 = 46 - 12a = -6$

$12a = 52$

$a = \frac{52}{12} = \frac{13}{3} = 4.333\cdots$

これは $a > 6$ を満たさないので不適。

したがって、(iia)より $a=2$, $b=-2$, または (iib)より $a=4$, $b=10$

3. 最終的な答え

$a = 2$, $b = -2$ または $a = 4$, $b = 10$