関数 $f(x) = x^2 + ax + b$ が与えられている。$x^{2025}$ を $f(x)$ で割った余りが $2x+1$ であり、$x^{2026}$ を $f(x)$ で割った余りが $x+2$ となるような $a, b$ が存在しないことを示す。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 + ax + b$ が与えられている。$x^{2025}$ を $f(x)$ で割った余りが $2x+1$ であり、$x^{2026}$ を $f(x)$ で割った余りが $x+2$ となるような $a, b$ が存在しないことを示す。

2. 解き方の手順

$x^{2026} = x \cdot x^{2025}$ であることに注目する。

$x^{2025}$ を $f(x)$ で割った商を $q(x)$ とすると、

$x^{2025} = f(x)q(x) + 2x + 1$

両辺に $x$ を掛けると、

$x^{2026} = x f(x)q(x) + 2x^2 + x$

$x^{2026}$ を $f(x)$ で割った余りが $x+2$ であるので、

$x^{2026} = f(x)q'(x) + x + 2$

したがって、

$f(x)q'(x) + x + 2 = x f(x)q(x) + 2x^2 + x$

$f(x)q'(x) = x f(x)q(x) + 2x^2 - 2$

$f(x)(q'(x) - xq(x)) = 2x^2 - 2$

$f(x) = x^2 + ax + b$ なので、

$(x^2 + ax + b)(q'(x) - xq(x)) = 2x^2 - 2$

$q'(x) - xq(x)$ は定数でなければならない。

$q'(x) - xq(x) = 2$

$x^2 + ax + b = x^2 - 1$

よって、$a = 0$ かつ $b = -1$ でなければならない。

$f(x) = x^2 - 1$

$x^{2025} = (x^2-1)Q(x) + 2x + 1$

$x=1$ を代入すると $1 = 3$ となり矛盾。

$x=-1$ を代入すると $-1 = -1$ となり不適。

$x^{2026} = (x^2-1)Q'(x) + x + 2$

$x=1$ を代入すると $1 = 3$ となり矛盾。

$x=-1$ を代入すると $1 = 1$ となり不適。

$x^{2025} = (x^2 + ax + b)q_1(x) + 2x+1$

$x^{2026} = (x^2 + ax + b)q_2(x) + x+2$

$x^{2026} = x \cdot x^{2025} = x((x^2 + ax + b)q_1(x) + 2x+1) = (x^2 + ax + b)q_2(x) + x+2$

$(x^2 + ax + b) xq_1(x) + 2x^2 + x = (x^2 + ax + b)q_2(x) + x+2$

$2x^2 + x = (x^2 + ax + b)(q_2(x)-xq_1(x)) + x + 2$

$2x^2+x - (x+2) = 2x^2-2 = (x^2 + ax + b)(q_2(x)-xq_1(x))$

$2(x^2-1) = (x^2 + ax + b)(q_2(x)-xq_1(x))$

$q_2(x)-xq_1(x) = 2$

$2x^2-2 = 2(x^2 + ax + b)$

$x^2 - 1 = x^2 + ax + b$

$a=0, b=-1$

$f(x) = x^2-1$

$x^{2025} = (x^2-1)q_1(x) + 2x+1$

$x=1$ を代入すると $1 = 3$ となり矛盾。

したがって、$a,b$ は存在しない。

3. 最終的な答え

$x^{2025}$ を $f(x)$ で割った余りが $2x+1$、$x^{2026}$ を $f(x)$ で割った余りが $x+2$ となるような $a,b$ は存在しない。