2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフをy軸に関して対称移動し、さらにx軸方向に-1、y軸方向に12だけ平行移動すると、2次関数 $y = 2x^2 + 8x + 11$ のグラフと重なった。このとき、定数 a, b, c の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフをy軸に関して対称移動し、さらにx軸方向に-1、y軸方向に12だけ平行移動すると、2次関数 $y = 2x^2 + 8x + 11$ のグラフと重なった。このとき、定数 a, b, c の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = ax^2 + bx + c$ のグラフをy軸に関して対称移動したグラフの式を求める。

y軸に関する対称移動は、$x$ を $-x$ に置き換えることで得られる。

よって、移動後のグラフの式は、

$y = a(-x)^2 + b(-x) + c = ax^2 - bx + c$ となる。

次に、このグラフをx軸方向に-1、y軸方向に12だけ平行移動したグラフの式を求める。

x軸方向に-1の平行移動は、$x$ を $x + 1$ に置き換えることで得られ、y軸方向に12の平行移動は、$y$ を $y - 12$ に置き換えることで得られる。

よって、移動後のグラフの式は、

$y - 12 = a(x + 1)^2 - b(x + 1) + c$

$y = a(x^2 + 2x + 1) - b(x + 1) + c + 12$

$y = ax^2 + 2ax + a - bx - b + c + 12$

$y = ax^2 + (2a - b)x + (a - b + c + 12)$

これが $y = 2x^2 + 8x + 11$ と一致するので、各項の係数を比較する。

$a = 2$

$2a - b = 8$

$a - b + c + 12 = 11$

$a = 2$ を $2a - b = 8$ に代入すると、

$2(2) - b = 8$

$4 - b = 8$

$b = 4 - 8 = -4$

$a = 2$, $b = -4$ を $a - b + c + 12 = 11$ に代入すると、

$2 - (-4) + c + 12 = 11$

$2 + 4 + c + 12 = 11$

$18 + c = 11$

$c = 11 - 18 = -7$

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = -4$

$c = -7$