関数 $f(x) = (x-a)^2 + (x-b)^2$ を最小にする $x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (x-a)^2 + (x-b)^2$ を最小にする $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ を展開して整理します。

$f(x) = (x^2 - 2ax + a^2) + (x^2 - 2bx + b^2)$

$f(x) = 2x^2 - 2(a+b)x + a^2 + b^2$

$f(x)$ を最小にする $x$ の値を求めるために、微分して $0$ となる $x$ を探します。

$f'(x) = 4x - 2(a+b)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ は、

$4x - 2(a+b) = 0$

$4x = 2(a+b)$

$x = \frac{2(a+b)}{4}$

$x = \frac{a+b}{2}$

$f''(x) = 4 > 0$ なので、$x = \frac{a+b}{2}$ で $f(x)$ は最小値をとります。

3. 最終的な答え

$x = \frac{a+b}{2}$