3次不等式 $x^3 - 3x^2 - 6x + 8 > 0$ を解け。画像には途中式として、 $x(x^2 - 3x + 2) > 0$ $x(x-2)(x-1) > 0$ と書いてあるように見えますが、これらは元の式とは異なります。ここでは、正しく因数分解して問題を解きます。

1. 問題の内容

3次不等式 $x^3 - 3x^2 - 6x + 8 > 0$ を解け。画像には途中式として、

$x(x^2 - 3x + 2) > 0$

$x(x-2)(x-1) > 0$

と書いてあるように見えますが、これらは元の式とは異なります。ここでは、正しく因数分解して問題を解きます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を因数分解します。

$f(x) = x^3 - 3x^2 - 6x + 8$ とおくと、$f(1) = 1 - 3 - 6 + 8 = 0$ となるので、$x-1$ を因数に持ちます。実際に割り算をすると、

$x^3 - 3x^2 - 6x + 8 = (x-1)(x^2 - 2x - 8)$

さらに、$x^2 - 2x - 8 = (x-4)(x+2)$ と因数分解できるので、与えられた不等式は

$(x-1)(x-4)(x+2) > 0$

となります。

次に、この不等式を満たす $x$ の範囲を求めます。$(x-1)(x-4)(x+2) = 0$ となるのは、$x = -2, 1, 4$ のときです。したがって、数直線上でこれらの点を境にして符号を調べます。

- $x < -2$ のとき、$x-1 < 0$, $x-4 < 0$, $x+2 < 0$ なので、$(x-1)(x-4)(x+2) < 0$

- $-2 < x < 1$ のとき、$x-1 < 0$, $x-4 < 0$, $x+2 > 0$ なので、$(x-1)(x-4)(x+2) > 0$

- $1 < x < 4$ のとき、$x-1 > 0$, $x-4 < 0$, $x+2 > 0$ なので、$(x-1)(x-4)(x+2) < 0$

- $x > 4$ のとき、$x-1 > 0$, $x-4 > 0$, $x+2 > 0$ なので、$(x-1)(x-4)(x+2) > 0$

したがって、$(x-1)(x-4)(x+2) > 0$ となるのは、$-2 < x < 1$ または $x > 4$ のときです。

3. 最終的な答え

$-2 < x < 1$ または $x > 4$