$a > 0$, $b > 0$ のとき、以下の不等式を証明し、等号が成り立つ場合を調べる。 (1) $\frac{a}{2} + \frac{1}{2a} \ge 1$ (2) $\frac{b}{2a} + \frac{2a}{b} \ge 2$

1. 問題の内容

$a > 0$, $b > 0$ のとき、以下の不等式を証明し、等号が成り立つ場合を調べる。

(1) $\frac{a}{2} + \frac{1}{2a} \ge 1$

(2) $\frac{b}{2a} + \frac{2a}{b} \ge 2$

2. 解き方の手順

(1) 相加平均・相乗平均の不等式を利用する。

$a > 0$ より、$\frac{a}{2} > 0$, $\frac{1}{2a} > 0$ である。

相加平均・相乗平均の不等式より、

$$\frac{\frac{a}{2} + \frac{1}{2a}}{2} \ge \sqrt{\frac{a}{2} \cdot \frac{1}{2a}}$$

$$\frac{a}{2} + \frac{1}{2a} \ge 2\sqrt{\frac{1}{4}}$$

$$\frac{a}{2} + \frac{1}{2a} \ge 2 \cdot \frac{1}{2}$$

$$\frac{a}{2} + \frac{1}{2a} \ge 1$$

等号が成り立つのは、$\frac{a}{2} = \frac{1}{2a}$ のときなので、

$a^2 = 1$

$a > 0$ より、$a = 1$

(2) 相加平均・相乗平均の不等式を利用する。

$a > 0$, $b > 0$ より、$\frac{b}{2a} > 0$, $\frac{2a}{b} > 0$ である。

相加平均・相乗平均の不等式より、

$$\frac{\frac{b}{2a} + \frac{2a}{b}}{2} \ge \sqrt{\frac{b}{2a} \cdot \frac{2a}{b}}$$

$$\frac{b}{2a} + \frac{2a}{b} \ge 2\sqrt{1}$$

$$\frac{b}{2a} + \frac{2a}{b} \ge 2$$

等号が成り立つのは、$\frac{b}{2a} = \frac{2a}{b}$ のときなので、

$b^2 = 4a^2$

$b > 0$, $a > 0$ より、$b = 2a$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{a}{2} + \frac{1}{2a} \ge 1$ が成り立つ。等号が成り立つのは $a = 1$ のとき。

(2) $\frac{b}{2a} + \frac{2a}{b} \ge 2$ が成り立つ。等号が成り立つのは $b = 2a$ のとき。