与えられた行列 $A$ に対して、指定された基本変形を順に行い、得られる行列 $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$ を求めます。さらに、これらの基本変形に対応する基本行列 $P_1$, $P_2$, $Q_1$, $Q_2$ を求め、$P_2 P_1 A Q_1 Q_2$ を計算し、$A_4$ と一致することを確認します。 行列Aは以下です。 $ A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 0 & 0 & -10 \end{bmatrix} $

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ に対して、指定された基本変形を順に行い、得られる行列 $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$ を求めます。さらに、これらの基本変形に対応する基本行列 $P_1$, $P_2$, $Q_1$, $Q_2$ を求め、$P_2 P_1 A Q_1 Q_2$ を計算し、$A_4$ と一致することを確認します。

行列Aは以下です。

$A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 0 & 0 & -10 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A_1, A_2, A_3, A_4$ を求める

(a) $A_1$: Aの第1行を1/2倍する。

$A_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 0 & 0 & -10 \end{bmatrix}$

(b) $A_2$: $A_1$ の第3行に第1行の(-5)倍を加える。

$A_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

(c) $A_3$: $A_2$ の第4列に第1列の2倍を加える。

$A_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

(d) $A_4$: $A_3$ の第2列と第3列を入れ替える。

$A_4 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

(2) 基本行列 $P_1, P_2, Q_1, Q_2$ を求める

(a), (b) の基本変形は、左から基本行列をかけることに相当する。

$A_1$は$A$の第一行を1/2倍するので、$P_1$は単位行列の(1,1)成分を1/2にしたものです。

$P_1 = \begin{bmatrix} 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$A_2$は$A_1$の第三行に第一行の-5倍を加えるので、$P_2$は単位行列の(3,1)成分を-5にしたものです。

$P_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -5 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

(c), (d) の基本変形は、右から基本行列をかけることに相当する。

$A_3$は$A_2$の第四列に第一列の2倍を加えるので、$Q_1$は単位行列の(1,4)成分を2にしたものです。

$Q_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$A_4$は$A_3$の第二列と第三列を入れ替えるので、$Q_2$は単位行列の第二列と第三列を入れ替えたものです。

$Q_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

したがって、$P = P_2 P_1$ と $Q = Q_1 Q_2$ は、

$P = P_2 P_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -5 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -5/2 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$Q = Q_1 Q_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$P A Q = \begin{bmatrix} 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -5/2 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 0 & 0 & -10 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = A_4$

3. 最終的な答え

$A_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 0 & 0 & -10 \end{bmatrix}$

$A_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$A_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$A_4 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$P_1 = \begin{bmatrix} 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$P_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -5 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$Q_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$Q_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$P = \begin{bmatrix} 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -5/2 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$Q = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$PAQ = A_4$