多項式 $P(x) = x^3 - (k-1)x^2 + (3k-6)x + 4k - 6$ が与えられている。ここで、$k$ は実数の定数である。以下の3つの問いに答える。 (1) $P(x)$ を $x+1$ で割ったときの商を求める。 (2) 方程式 $P(x) = 0$ が異なる3つの実数解を持つような $k$ の値の範囲を求め、さらに、その3つの実数解の積が1となるような $k$ の値を求める。 (3) 方程式 $P(x) = 0$ が異なる3つの実数解を持ち、すべての解が $-2 < x < 1$ を満たすとき、$k$ のとり得る値の範囲を求める。

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = x^3 - (k-1)x^2 + (3k-6)x + 4k - 6$ が与えられている。ここで、$k$ は実数の定数である。以下の3つの問いに答える。

(1) $P(x)$ を $x+1$ で割ったときの商を求める。

(2) 方程式 $P(x) = 0$ が異なる3つの実数解を持つような $k$ の値の範囲を求め、さらに、その3つの実数解の積が1となるような $k$ の値を求める。

(3) 方程式 $P(x) = 0$ が異なる3つの実数解を持ち、すべての解が $-2 < x < 1$ を満たすとき、$k$ のとり得る値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $P(x)$ を $x+1$ で割った商を求めるために、実際に割り算を行う。

$P(x) = (x+1)Q(x) + R$ となるような $Q(x)$ (商) と $R$ (余り) を求める。

$P(-1) = (-1)^3 - (k-1)(-1)^2 + (3k-6)(-1) + 4k - 6 = -1 - (k-1) - 3k + 6 + 4k - 6 = -1 - k + 1 - 3k + 6 + 4k - 6 = 0$

したがって、$P(x)$ は $x+1$ で割り切れる。

実際に割り算をすると、$P(x) = (x+1)(x^2 - kx + 4k - 6)$ となる。

よって、商は $x^2 - kx + 4k - 6$ である。

(2) $P(x) = (x+1)(x^2 - kx + 4k - 6) = 0$ が異なる3つの実数解を持つためには、2次方程式 $x^2 - kx + 4k - 6 = 0$ が $x = -1$ 以外の異なる2つの実数解を持つ必要がある。

まず、$x = -1$ が解でないことから $(-1)^2 - k(-1) + 4k - 6 \neq 0$ より $1 + k + 4k - 6 \neq 0$ すなわち $5k - 5 \neq 0$ より $k \neq 1$。

次に、2次方程式が異なる2つの実数解を持つための条件は、判別式 $D = k^2 - 4(4k - 6) > 0$ である。

$k^2 - 16k + 24 > 0$

解の公式より、$k = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 96}}{2} = \frac{16 \pm \sqrt{160}}{2} = \frac{16 \pm 4\sqrt{10}}{2} = 8 \pm 2\sqrt{10}$

したがって、$k < 8 - 2\sqrt{10}$ または $k > 8 + 2\sqrt{10}$。

$k \neq 1$ より、$k < 8 - 2\sqrt{10}$ または $8 - 2\sqrt{10} < k < 1$ または $1 < k < 8 + 2\sqrt{10}$ または $k > 8 + 2\sqrt{10}$。

3つの実数解の積が1となる条件は、$-1 \cdot \alpha \cdot \beta = 1$ であり、$\alpha \beta = -1$ である。

2次方程式の解と係数の関係より、$\alpha \beta = 4k - 6$。

したがって、$4k - 6 = -1$ より $4k = 5$ なので $k = \frac{5}{4}$。

$\frac{5}{4} = 1.25$ であり、これは $1 < k < 8 + 2\sqrt{10}$ を満たす。

(3) $x^2 - kx + 4k - 6 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とすると、$-2 < -1, \alpha, \beta < 1$ が成り立つ。

$f(x) = x^2 - kx + 4k - 6$ とおく。

まず、$-2 < -1 < 1$ なので、$x=-1$ は条件を満たす。$\alpha, \beta$ が $-2 < x < 1$ を満たす必要がある。

$f(-2) > 0$ より $4 + 2k + 4k - 6 > 0$ より $6k > 2$ なので $k > \frac{1}{3}$。

$f(1) > 0$ より $1 - k + 4k - 6 > 0$ より $3k > 5$ なので $k > \frac{5}{3}$。

軸の位置 $-\frac{-k}{2} = \frac{k}{2}$ が $-2 < \frac{k}{2} < 1$ を満たすので、$-4 < k < 2$。

判別式 $D > 0$ は既に $k < 8 - 2\sqrt{10}$ または $k > 8 + 2\sqrt{10}$ で求めている。

$k < 8 - 2\sqrt{10}$ かつ $k > \frac{5}{3}$ かつ $-4 < k < 2$ を満たす $k$ の範囲を求める。

$8 - 2\sqrt{10} \approx 8 - 2(3.16) = 8 - 6.32 = 1.68$

したがって、$\frac{5}{3} < k < 8 - 2\sqrt{10}$

$\frac{5}{3} \approx 1.666$ より、$\frac{5}{3} < k < 8 - 2\sqrt{10}$ は存在する。

$\frac{5}{3} < k < 2$ であるから、$\frac{5}{3} < k < 8 - 2\sqrt{10}$.

$\frac{5}{3} < k < 8 - 2\sqrt{10}$

しかし、$f(-1)\ne0$ との条件より、$k \ne 1$ であることを考慮すると, $\frac{5}{3} \le k < 8-2\sqrt{10}$

3. 最終的な答え

(1) 商: $x^2 - kx + 4k - 6$

(2) $k$ の範囲: $k < 8 - 2\sqrt{10}$ または $k > 8 + 2\sqrt{10}$ (ただし $k \neq 1$), $k = \frac{5}{4}$

(3) $k$ の範囲: $\frac{5}{3} < k < 8 - 2\sqrt{10}$