2次関数 $f(x) = x^2 - 6x - 3a + 18$ について以下の問いに答える。 (1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を求める。 (2) 区間 $a \le x \le a+2$ における関数 $f(x)$ の最小値 $m(a)$ を、$a$ の範囲によって場合分けして求める。 (3) $0 \le a \le 8$ の範囲で $a$ の値が変化するとき、$m(a)$ の最大値、最小値、および $m(a) = 4$ となる $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 6x - 3a + 18$ について以下の問いに答える。

(1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を求める。

(2) 区間 $a \le x \le a+2$ における関数 $f(x)$ の最小値 $m(a)$ を、$a$ の範囲によって場合分けして求める。

(3) $0 \le a \le 8$ の範囲で $a$ の値が変化するとき、$m(a)$ の最大値、最小値、および $m(a) = 4$ となる $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = (x-3)^2 - 9 - 3a + 18 = (x-3)^2 - 3a + 9$

よって、頂点の座標は $(3, -3a + 9)$。

(2)

(i) $a+2 < 3$ すなわち $a < 1$ のとき、$f(x)$ は区間 $[a, a+2]$ で単調減少なので、最小値は $f(a+2)$ である。

$m(a) = f(a+2) = (a+2)^2 - 6(a+2) - 3a + 18 = a^2 + 4a + 4 - 6a - 12 - 3a + 18 = a^2 - 5a + 10$

(ii) $a \le 3 \le a+2$ すなわち $1 \le a \le 3$ のとき、頂点の $x$ 座標 $x=3$ が区間 $[a, a+2]$ に含まれるので、最小値は $f(3)$ である。

$m(a) = f(3) = -3a + 9$

(iii) $a > 3$ のとき、$f(x)$ は区間 $[a, a+2]$ で単調増加なので、最小値は $f(a)$ である。

$m(a) = f(a) = a^2 - 6a - 3a + 18 = a^2 - 9a + 18$

(3)

$0 \le a \le 8$ の範囲で $m(a)$ を考える。

(i) $0 \le a < 1$ のとき、$m(a) = a^2 - 5a + 10 = (a - \frac{5}{2})^2 + \frac{15}{4}$ 。この範囲では単調減少なので、$a=0$ で最大値 $m(0) = 10$ をとる。

(ii) $1 \le a \le 3$ のとき、$m(a) = -3a + 9$ 。これは単調減少なので、$a=1$ で最大値 $m(1) = 6$ を、 $a=3$ で最小値 $m(3) = 0$ をとる。

(iii) $3 < a \le 8$ のとき、$m(a) = a^2 - 9a + 18 = (a - \frac{9}{2})^2 - \frac{9}{4}$ 。この範囲では、$a = \frac{9}{2} = 4.5$ で最小値 $m(\frac{9}{2}) = - \frac{9}{4}$ をとる。$a=8$ で最大値 $m(8) = 8^2 - 9(8) + 18 = 64 - 72 + 18 = 10$ をとる。

したがって、$a=0$ または $a=8$ で最大値 $10$ をとり、$a = \frac{9}{2}$ で最小値 $- \frac{9}{4}$ をとる。

次に、$m(a) = 4$ となる $a$ を求める。

(i) $0 \le a < 1$ のとき、$a^2 - 5a + 10 = 4 \Rightarrow a^2 - 5a + 6 = 0 \Rightarrow (a-2)(a-3) = 0$ 。$a=2, 3$ はこの範囲に含まれないので不適。

(ii) $1 \le a \le 3$ のとき、$-3a + 9 = 4 \Rightarrow 3a = 5 \Rightarrow a = \frac{5}{3}$ 。これはこの範囲に含まれる。

(iii) $3 < a \le 8$ のとき、$a^2 - 9a + 18 = 4 \Rightarrow a^2 - 9a + 14 = 0 \Rightarrow (a-2)(a-7) = 0$ 。$a=2$ はこの範囲に含まれないが、$a=7$ はこの範囲に含まれる。

したがって、$m(a)=4$ となるのは、$a = \frac{5}{3}$ または $a=7$ のときである。

3. 最終的な答え

ア: 3, イ: 3, ウ: 9

エ: 1, オ: 5, カキ: 10

ケコ: -3, サ: 9

ク: 3, シ: 9, スセ: 18

ソ: 0, タ: 8, チツ: 10, テ: 9, ト: 2, ナニ: -9, ヌ: 4

ネ: 5, ノ: 3, ハ: 7