問題9：2次方程式 $2x^2 + 3x + k = 0$ が実数解を持たないような $k$ のうち、最小の整数を求める。 問題10：$0^\circ < \theta < 180^\circ$ において、$\tan \theta = -\sqrt{5}$ のとき、$\sin \theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

問題9：2次方程式 $2x^2 + 3x + k = 0$ が実数解を持たないような $k$ のうち、最小の整数を求める。

問題10：$0^\circ < \theta < 180^\circ$ において、$\tan \theta = -\sqrt{5}$ のとき、$\sin \theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

問題9：

2次方程式が実数解を持たない条件は、判別式 $D$ が負であることである。

判別式 $D = b^2 - 4ac$ より、$D = 3^2 - 4(2)(k) = 9 - 8k$

実数解を持たないためには $D < 0$ である必要があるので、

$9 - 8k < 0$

$8k > 9$

$k > \frac{9}{8} = 1.125$

したがって、条件を満たす最小の整数は 2 である。

問題10：

$\tan \theta = -\sqrt{5}$ より、$\theta$ は第2象限の角である。

$1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ の関係を用いる。

$1 + (-\sqrt{5})^2 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$1 + 5 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$6 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{6}$

$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$

$\theta$ は第2象限の角なので、$\cos \theta < 0$ であり、$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{6}}$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、

$\sin^2 \theta + \left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^2 = 1$

$\sin^2 \theta + \frac{1}{6} = 1$

$\sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

$\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{5}{6}}$

$\theta$ は第2象限の角なので、$\sin \theta > 0$ であり、$\sin \theta = \sqrt{\frac{5}{6}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{30}}{6}$

$\sin \theta = \sqrt{\frac{5}{6}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{42}}$

$\sin \theta = \frac{\sqrt{30}}{6} = \frac{\sqrt{30} \cdot \sqrt{7}}{6\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{210}}{6\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{210}\sqrt{7}}{6 \cdot 7}$

$\sin \theta = \sqrt{\frac{5}{6}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{5}\sqrt{7}}{\sqrt{6}\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{42}}$

$\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{30}}{6}$

また、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -\sqrt{5}$

$\sin \theta = -\sqrt{5} \cos \theta$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より

$(-\sqrt{5}\cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$5 \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$6 \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{6}$

$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{6}}$ （$\theta$ は第2象限の角）

$\sin \theta = -\sqrt{5} \left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right) = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{30}}{6}$

3. 最終的な答え

問題9：2

問題10：$\frac{\sqrt{30}}{6} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$　なので$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$は分母を有理化すると　$\frac{\sqrt{30}}{6}$ となる。したがって、$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$は選択肢にないので、正解は $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$

問題9：2

問題10：$\frac{\sqrt{30}}{6}$は選択肢に存在しない。

与えられた選択肢の中に$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$があるので、この値が最も近い値と思われる。

$\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{5}{6}}$

$\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} = \sqrt{\frac{5}{7}}$

$\sqrt{\frac{5}{6}} \approx \sqrt{0.833} \approx 0.913$

$\sqrt{\frac{5}{7}} \approx \sqrt{0.714} \approx 0.845$

問題9：2

問題10：$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$に一番近い選択肢を探す。

与えられた選択肢より、$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ が一番近い。

最終的な答え

問題9：2

問題10：3