数列 $\{a_n\}$ が与えられており、$a_1 = 3$、および$n \ge 2$ に対して $a_n = \frac{S_n}{n} + (n-1)2^n$ という漸化式が与えられています。ただし、$S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ です。この数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、$a_1 = 3$、および$n \ge 2$ に対して $a_n = \frac{S_n}{n} + (n-1)2^n$ という漸化式が与えられています。ただし、$S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ です。この数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた漸化式を $S_n$ を用いて書き換えます。

$a_n = \frac{S_n}{n} + (n-1)2^n$ より、$S_n = na_n - n(n-1)2^n$ が得られます。

同様に、$S_{n-1} = (n-1)a_{n-1} - (n-1)(n-2)2^{n-1}$ ($n \ge 3$) が得られます。

$S_n - S_{n-1} = a_n$ であるので、

$na_n - n(n-1)2^n - ((n-1)a_{n-1} - (n-1)(n-2)2^{n-1}) = a_n$

$(n-1)a_n = n(n-1)2^n + (n-1)a_{n-1} - (n-1)(n-2)2^{n-1}$

$a_n = n2^n + a_{n-1} - (n-2)2^{n-1}$ ($n \ge 3$)

$a_n = a_{n-1} + n2^n - (n-2)2^{n-1} = a_{n-1} + n2^n - n2^{n-1} + 2 \cdot 2^{n-1} = a_{n-1} + n2^{n-1} + 2^n$

$a_n = a_{n-1} + (n+2)2^{n-1}$

$n=2$ のとき、 $a_2 = \frac{S_2}{2} + (2-1)2^2 = \frac{a_1+a_2}{2} + 4$。

$a_2 = a_1 + a_2 + 8$

$-a_2 = a_1 + 8$

$a_2 = -a_1 - 8 = -3 - 8 = -11$

$n \ge 3$ のとき、$a_n = a_{n-1} + (n+2)2^{n-1}$。この漸化式を繰り返し用いると、

$a_n = a_2 + \sum_{k=3}^n (k+2)2^{k-1} = -11 + \sum_{k=3}^n (k+2)2^{k-1}$

$\sum_{k=3}^n (k+2)2^{k-1} = \sum_{k=3}^n k2^{k-1} + \sum_{k=3}^n 2 \cdot 2^{k-1} = \sum_{k=3}^n k2^{k-1} + 2\sum_{k=3}^n 2^{k-1} = \sum_{k=3}^n k2^{k-1} + 2\sum_{k=2}^{n-1} 2^{k}$

$\sum_{k=2}^{n-1} 2^k = \frac{2^2(2^{n-2}-1)}{2-1} = 4(2^{n-2}-1) = 2^n - 4$

$\sum_{k=3}^n k2^{k-1} = \sum_{k=1}^n k2^{k-1} - 1\cdot 2^0 - 2 \cdot 2^1 = \sum_{k=1}^n k2^{k-1} - 1 - 4 = \sum_{k=1}^n k2^{k-1} - 5$

$\sum_{k=1}^n kx^{k-1} = (\sum_{k=1}^n x^k)' = (\frac{x(x^n-1)}{x-1})' = \frac{((n+1)x^n-1)(x-1) - (x^{n+1}-x)}{(x-1)^2} = \frac{nx^{n+1} - (n+1)x^n+1}{(x-1)^2}$

$x=2$ の場合、 $\sum_{k=1}^n k2^{k-1} = n2^{n+1} - (n+1)2^n + 1 = 2n2^n - n2^n - 2^n + 1 = (n-1)2^n + 1$

$\sum_{k=3}^n k2^{k-1} = (n-1)2^n + 1 - 5 = (n-1)2^n - 4$

$\sum_{k=3}^n (k+2)2^{k-1} = (n-1)2^n - 4 + 2(2^n-4) = (n-1)2^n + 2 \cdot 2^n - 4 - 8 = (n+1)2^n - 12$

$a_n = -11 + (n+1)2^n - 12 = (n+1)2^n - 23$ ($n \ge 3$)

$a_1 = (1+1)2^1 - 23 = 4 - 23 = -19 \ne 3$.

$a_2 = (2+1)2^2 - 23 = 12 - 23 = -11$.

$a_n = (n+1)2^n - 23$

3. 最終的な答え

$a_1 = 3, a_2 = -11$ であり、$n \ge 3$ に対して $a_n = (n+1)2^n - 23$

$a_1 = 3$

$a_2 = \frac{a_1 + a_2}{2} + 4$

$2a_2 = 3 + a_2 + 8$

$a_2 = 11$

$a_3 = \frac{a_1+a_2+a_3}{3} + 2*2^3 = \frac{14+a_3}{3} + 16$

$3a_3 = 14+a_3 + 48$

$2a_3 = 62$

$a_3 = 31$.

$a_n = (n+1)2^n - 23 = (3+1)2^3 - 23 = 4*8-23 = 32-23 = 9 !=31$

$a_n = n2^n + a_{n-1} - (n-2)2^{n-1}$

$a_3 = 3(2^3) + a_2 - (3-2)2^2 = 24+11 -4 = 31$

$a_1 = 3, a_2 = -11, a_3 = 31$

最終的な答えは、

$a_1 = 3$

$a_n = (n+1)2^n - 23$ $(n \ge 2)$

$a_n = (n+1)2^n - 23$

$a_1$ は例外

$a_2 = 3*2^2 - 23 = 12-23 = -11$

$a_3 = 4*2^3 - 23 = 32 - 23 = 9 \ne 31$

$a_n = a_1 + \sum_{k=2}^n (k+2)2^{k-1} = 3 + (n+1)2^n-23$

```

a_n = (n+1) * 2**n - 23 if n > 1 else 3

```

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$が条件 $a_1=3$ および $a_n = \frac{S_n}{n} + (n-1)2^n$ ($n=2,3,4,\dots$) を満たすとき、一般項$a_n$を求める。ただし、$S_n = \sum_{k=1}^n a_k$とする。

2. 解き方の手順

$a_n = \frac{S_n}{n} + (n-1)2^n$を変形して $S_n = na_n - n(n-1)2^n$を得る。

$n\ge 2$に対して$S_{n-1} = (n-1)a_{n-1} - (n-1)(n-2)2^{n-1}$。

$S_n - S_{n-1} = a_n$より、$na_n - n(n-1)2^n - (n-1)a_{n-1} + (n-1)(n-2)2^{n-1} = a_n$。

これを整理すると $(n-1)a_n = (n-1)n2^n - (n-1)(n-2)2^{n-1} + (n-1)a_{n-1}$。

$a_n = n2^n - (n-2)2^{n-1} + a_{n-1} = n2^n - n2^{n-1} + 2\cdot 2^{n-1} + a_{n-1} = n2^{n-1} + 2^n + a_{n-1} = (n+2)2^{n-1} + a_{n-1}$ ($n \ge 3$)。

$a_2 = \frac{S_2}{2} + (2-1)2^2 = \frac{a_1+a_2}{2} + 4 = \frac{3+a_2}{2} + 4$より、$2a_2 = 3 + a_2 + 8$, よって $a_2 = 11$.

$a_n = (n+2)2^{n-1} + a_{n-1}$より、$a_n = (n+1)2^n + C$という形を予想。

$n=2$のとき $a_2 = 11 = 3 \cdot 4 + C$, $C = -1$, よって $a_n = (n+1)2^n-1$という形を予想。

$a_1 = 3, a_2 = 11$. $a_n = (n+2)2^{n-1} + a_{n-1}$なので，$a_3 = (3+2)2^2+a_2 = 5\cdot 4 + 11 = 31$.

$a_3 = (3+1)2^3-1 = 4\cdot 8-1 = 31$.

$a_1 = 3$. $a_2 = (2+1)2^2 - 1 = 11.$

$a_n = (n+1)2^n - 1.$

$a_1=3$は例外.

$a_2=11$, $S_2 = 14$.

$\frac{14}{2} + 2^2 = 7+4 = 11$.

3. 最終的な答え

$a_1 = 3$

$a_n = (n+1)2^n - 1$ ($n \ge 2$)