数列 $\{a_n\}$ が与えられており、初項 $a_1 = 3$ であり、漸化式 $a_n = \frac{S_n}{n} + (n-1)2^n$ が $n = 2, 3, 4, \dots$ に対して成り立つ。ただし、$S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ である。このとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、初項 $a_1 = 3$ であり、漸化式 $a_n = \frac{S_n}{n} + (n-1)2^n$ が $n = 2, 3, 4, \dots$ に対して成り立つ。ただし、$S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ である。このとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

2. 解き方の手順

まず、$S_n = \sum_{k=1}^n a_k$ であるから、$S_n = na_n - n(n-1)2^n$ が成り立つ。

また、$a_1 = 3$ より、$S_1 = a_1 = 3$ である。

$n \geq 2$ に対して、$S_n - S_{n-1} = a_n$ であるから、

$na_n - n(n-1)2^n - ((n-1)a_{n-1} - (n-1)(n-2)2^{n-1}) = a_n$

$(n-1)a_n = (n-1)a_{n-1} + n(n-1)2^n - (n-1)(n-2)2^{n-1}$

$(n-1)a_n = (n-1)a_{n-1} + n(n-1)2^n - (n-1)(n-2)2^{n-1}$

$a_n = a_{n-1} + n2^n - (n-2)2^{n-1}$

$a_n = a_{n-1} + n2^n - n2^{n-1} + 2 \cdot 2^{n-1}$

$a_n = a_{n-1} + n2^{n-1} + 2^n$

$a_n = a_{n-1} + (n+2)2^{n-1}$

ここで、$b_n = a_n - a_{n-1} = (n+2)2^{n-1}$ を得る。

$n \geq 2$ に対して、$a_n = a_1 + \sum_{k=2}^n (k+2)2^{k-1}$ である。

$a_1 = 3$ であり、$a_n = 3 + \sum_{k=2}^n (k+2)2^{k-1}$

$\sum_{k=2}^n (k+2)2^{k-1} = \sum_{k=2}^n k2^{k-1} + 2 \sum_{k=2}^n 2^{k-1}$

$\sum_{k=2}^n 2^{k-1} = \frac{2^1(2^{n-1}-1)}{2-1} = 2^n - 2$

$S = \sum_{k=2}^n k2^{k-1} = 2 \cdot 2^1 + 3 \cdot 2^2 + \dots + n2^{n-1}$

$2S = \sum_{k=2}^n k2^k = 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \dots + n2^n$

$-S = 2^2 + 2^3 + \dots + 2^n - n2^n = \frac{2^2(2^{n-1}-1)}{2-1} - n2^n = 2^{n+1} - 4 - n2^n$

$S = n2^n - 2^{n+1} + 4$

よって、$\sum_{k=2}^n (k+2)2^{k-1} = n2^n - 2^{n+1} + 4 + 2(2^n - 2) = n2^n - 2^{n+1} + 4 + 2^{n+1} - 4 = n2^n$

したがって、$a_n = 3 + n2^n$ である。

$a_1 = 3 + 1 \cdot 2^1 = 5 \ne 3$ より、$n \ge 2$

$n = 1$ のとき、$a_1 = 3$

$n \ge 2$ のとき、$a_n = (n-2)2^{n-1} + 3$

$n=2$ のとき、$a_2 = \frac{a_1 + a_2}{2} + (2-1)2^2 = \frac{3+a_2}{2} + 4$

$a_2 = 3+a_2+8$,$a_2 = -11/2$

$2a_2 = 3+a_2+8$。$a_2=11$

3. 最終的な答え

$a_1 = 3$

$a_n = (n+2)2^{n-1} + a_{n-1}$