$\sqrt{2} + 1$ の小数部分を $a$ とするとき、$\frac{a+1}{a}$ の整数部分を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{2} + 1$ の小数部分を $a$ とするとき、$\frac{a+1}{a}$ の整数部分を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{2}$ の近似値を考えます。$1 < \sqrt{2} < 2$ であることがわかります。より正確には、$1.4 < \sqrt{2} < 1.5$ であり、$\sqrt{2} \approx 1.414$ となります。

したがって、$\sqrt{2} + 1 \approx 2.414$ となり、$\sqrt{2} + 1$ の整数部分は 2 となります。

小数部分 $a$ は、$\sqrt{2} + 1$ から整数部分を引いたものなので、

$a = (\sqrt{2} + 1) - 2 = \sqrt{2} - 1$ となります。

次に、$\frac{a+1}{a}$ を計算します。

$\frac{a+1}{a} = \frac{(\sqrt{2}-1)+1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$

この分数の分母を有理化します。分母と分子に $\sqrt{2}+1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{2+\sqrt{2}}{2-1} = 2 + \sqrt{2}$

$2 + \sqrt{2}$ の整数部分を求めます。

$\sqrt{2} \approx 1.414$ なので、$2 + \sqrt{2} \approx 2 + 1.414 = 3.414$

したがって、$2 + \sqrt{2}$ の整数部分は 3 です。

3. 最終的な答え

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