複素数 $Z = 4 - 2i$ を原点を中心に $-\frac{\pi}{4}$ ラジアン回転させた点を表す複素数を求める。ここで、$i$ は虚数単位を表す。

1. 問題の内容

複素数 $Z = 4 - 2i$ を原点を中心に $-\frac{\pi}{4}$ ラジアン回転させた点を表す複素数を求める。ここで、$i$ は虚数単位を表す。

2. 解き方の手順

複素数を回転させるには、回転に対応する複素数を掛けます。回転角が $-\frac{\pi}{4}$ ラジアンであるため、回転に対応する複素数は $e^{-i\frac{\pi}{4}} = \cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) - i\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$ となります。

したがって、求める複素数は $Z \times e^{-i\frac{\pi}{4}} = (4 - 2i)(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2})$ で計算できます。

展開すると次のようになります。

$(4 - 2i)(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}) = 4\frac{\sqrt{2}}{2} - 4i\frac{\sqrt{2}}{2} - 2i\frac{\sqrt{2}}{2} + 2i^2\frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} - 2i\sqrt{2} - i\sqrt{2} - \sqrt{2}$

$= (2\sqrt{2} - \sqrt{2}) + (-2\sqrt{2} - \sqrt{2})i$

$= \sqrt{2} - 3\sqrt{2}i$

3. 最終的な答え

$\sqrt{2} - 3\sqrt{2}i$