ある等比数列において、初項から第 $n$ 項までの和が $54$ であり、初項から第 $2n$ 項までの和が $63$ であるとき、初項から第 $3n$ 項までの和を求めよ。

1. 問題の内容

ある等比数列において、初項から第 $n$ 項までの和が $54$ であり、初項から第 $2n$ 項までの和が $63$ であるとき、初項から第 $3n$ 項までの和を求めよ。

2. 解き方の手順

初項を $a$, 公比を $r$ とすると、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ で表される。

同様に、初項から第 $2n$ 項までの和 $S_{2n}$ は、

$S_{2n} = \frac{a(1-r^{2n})}{1-r}$ で表される。

問題文より、

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} = 54$ ...(1)

$S_{2n} = \frac{a(1-r^{2n})}{1-r} = 63$ ...(2)

(2)を(1)で割ると、

$\frac{S_{2n}}{S_n} = \frac{1-r^{2n}}{1-r^n} = \frac{63}{54} = \frac{7}{6}$

$1-r^{2n} = (1-r^n)(1+r^n)$ より、

$\frac{(1-r^n)(1+r^n)}{1-r^n} = 1+r^n = \frac{7}{6}$

$r^n = \frac{7}{6} - 1 = \frac{1}{6}$ ...(3)

次に、初項から第 $3n$ 項までの和 $S_{3n}$ は、

$S_{3n} = \frac{a(1-r^{3n})}{1-r}$ で表される。

$S_{3n}$ を $S_n$ で割ると、

$\frac{S_{3n}}{S_n} = \frac{1-r^{3n}}{1-r^n}$

ここで、$r^{3n} = (r^n)^3$ であるから、(3)より $r^{3n} = (\frac{1}{6})^3 = \frac{1}{216}$

$\frac{S_{3n}}{S_n} = \frac{1-(1/216)}{1-(1/6)} = \frac{215/216}{5/6} = \frac{215}{216} \times \frac{6}{5} = \frac{43}{36}$

したがって、

$S_{3n} = \frac{43}{36} S_n = \frac{43}{36} \times 54 = 43 \times \frac{3}{2} = \frac{129}{2} = 64.5$

3. 最終的な答え

$\frac{129}{2}$ または $64.5$