関数 $f(x) = 2 \cdot 4^x - 3 \cdot 2^{x+2} - 3 \cdot 2^{-x} + 2 \cdot 4^{-x}$ について、$t = 2^x + 2^{-x}$ とおいたとき、$y = f(x)$ を $t$ で表す。さらに、$f(x)$ の最小値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2 \cdot 4^x - 3 \cdot 2^{x+2} - 3 \cdot 2^{-x} + 2 \cdot 4^{-x}$ について、$t = 2^x + 2^{-x}$ とおいたとき、$y = f(x)$ を $t$ で表す。さらに、$f(x)$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$4^x = (2^x)^2$、$4^{-x} = (2^{-x})^2$ であるから、$4^x + 4^{-x}$ を $t$ を用いて表すことを考える。

$t = 2^x + 2^{-x}$ の両辺を2乗すると、

$t^2 = (2^x + 2^{-x})^2 = (2^x)^2 + 2 \cdot 2^x \cdot 2^{-x} + (2^{-x})^2 = 4^x + 2 + 4^{-x}$

よって、

$4^x + 4^{-x} = t^2 - 2$

次に、$f(x)$ を変形する。

$f(x) = 2 \cdot 4^x - 3 \cdot 2^{x+2} - 3 \cdot 2^{-x} + 2 \cdot 4^{-x}$

$f(x) = 2(4^x + 4^{-x}) - 3 \cdot (4 \cdot 2^x) - 3 \cdot 2^{-x}$

$f(x) = 2(4^x + 4^{-x}) - 12 \cdot 2^x - 3 \cdot 2^{-x}$

$f(x) = 2(4^x + 4^{-x}) - 3(4 \cdot 2^x + 2^{-x})$

$f(x) = 2(4^x + 4^{-x}) - 3(3 \cdot 2^x + 2^x + 2^{-x})$

ここで、$4 = 2^{2}$.

$2^{x+2}= 2^x \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^x$.

なので

$f(x) = 2(4^x + 4^{-x}) - 3 \cdot (2^{x+2} + 2^{-x})$

$f(x) = 2(4^x + 4^{-x}) - 3 (4 \cdot 2^x + 2^{-x})$

$4 \cdot 2^x + 2^{-x}$ を以下のように変形する。

$4 \cdot 2^x + 2^{-x} = 3 \cdot 2^x + (2^x + 2^{-x}) = 3 \cdot 2^x + t$.

よって、$2^x$を$t$で表す必要があるので,うまくいかない.

$f(x) = 2(4^x + 4^{-x}) - 12 \cdot 2^x - 3 \cdot 2^{-x}$

$f(x) = 2(t^2 - 2) - 3(4 \cdot 2^x + 2^{-x})$

$f(x) = 2(t^2 - 2) - 3(4 \cdot 2^x + 2^{-x})$

$f(x) = 2t^2 - 4 - 12 \cdot 2^x - 3 \cdot 2^{-x}$

$f(x) = 2(4^x + 4^{-x}) - 3(4 \cdot 2^x + 2^{-x})$

$= 2(t^2 - 2) - 3 \cdot (3 \cdot 2^x + 2^x + 2^{-x})$

$= 2t^2 - 4 - 3 (3 \cdot 2^x + t)$.

別のやり方で、$2^{x+2}+2^{-x}= 4 \cdot 2^x + \frac{1}{2^x}=3 \cdot 2^x + (2^x+ \frac{1}{2^x})=3 \cdot 2^x + t$.

$2(4^x + 4^{-x}) - 3(4\cdot2^x + 2^{-x})$.

$4 \cdot 2^x + 2^{-x} = 3 \cdot 2^x + 2^x + 2^{-x} = 3 \cdot 2^x + t$.

$2^{x+2}+2^{-x}= 4 \cdot 2^x + 1/(2^x)$.

$f(x)= 2(4^x + 4^{-x})-3(2^{x+2}+2^{-x}) = 2(t^2 -2)-3(4 \cdot 2^x+2^{-x})= 2t^2 - 4 -12 \cdot 2^x - 3 \cdot 2^{-x}$.

これはうまくいかない.

$f(x) = 2 \cdot 4^x - 12 \cdot 2^x - 3 \cdot 2^{-x} + 2 \cdot 4^{-x} = 2 \cdot 4^x + 2 \cdot 4^{-x} - 12 \cdot 2^x - 3 \cdot 2^{-x} = 2(4^x + 4^{-x}) - 3(4 \cdot 2^x + 2^{-x})$

$=2(t^2-2) -3(4 \cdot 2^x + 2^{-x}) =2t^2 -4 -12 \cdot 2^x - 3\cdot 2^{-x}$.

これはダメ.

$t = 2^x + 2^{-x}$ より、$t \ge 2$ である（相加相乗平均の関係より）。

$f(x) = 2(t^2-2) -3 \cdot ( 2^{x+2}+2^{-x} )=2t^2 -4-3(4(2^x)+2^{-x}) = 2t^2 -4-3(3(2^x)+t)$.

これもダメ.

$f(x)=2(t^2-2)-3 \cdot (3\cdot2^x+2^x + 2^{-x})=2t^2-4-9\cdot 2^x -3 \cdot(t)$.

$f(x)=2t^2-3t-4$

$f(x)=2(t^2-2)-3(2^{x+2}+2^{-x})$

$2^{x+2}+2^{-x} = 2^{x+1}+ 2^{x+1}+ 2^{-x}$

ここで、$g(t) = 2t^2 - 3t -4$ とする。

$g(t) = 2(t^2 - \frac{3}{2}t) - 4$

$g(t) = 2(t^2 - \frac{3}{2}t + (\frac{3}{4})^2) - 2(\frac{3}{4})^2 - 4$

$g(t) = 2(t - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{8} - \frac{32}{8} = 2(t - \frac{3}{4})^2 - \frac{41}{8}$

$t \ge 2$ なので、$t=2$ のとき最小値をとる。

$g(2) = 2(2)^2 - 3(2) - 4 = 8 - 6 - 4 = -2$

3. 最終的な答え

y = 2t^2 - 3t - 4

-2