学校からA地点、B地点を経由して目的地までバスで行った。全体の道のりは100kmである。学校を午前9時に出発し、A地点まで時速50km、A地点からB地点まで時速90km、B地点から目的地まで時速45kmで走行したところ、午前10時30分に到着した。A地点からB地点までを走行した時間は、全体でかかった時間の4/9倍であった。学校からA地点までの距離を$x$ km、B地点から目的地までの距離を$y$ kmとするとき、$x$と$y$の値を求める。

1. 問題の内容

学校からA地点、B地点を経由して目的地までバスで行った。全体の道のりは100kmである。学校を午前9時に出発し、A地点まで時速50km、A地点からB地点まで時速90km、B地点から目的地まで時速45kmで走行したところ、午前10時30分に到着した。A地点からB地点までを走行した時間は、全体でかかった時間の4/9倍であった。学校からA地点までの距離を$x$ km、B地点から目的地までの距離を$y$ kmとするとき、$x$と$y$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 全体の道のりに関する式を立てる。

全体の道のりは100kmなので、A地点からB地点までの距離を$z$ kmとすると、

$x + z + y = 100$

(2) 全体にかかった時間に関する式を立てる。

学校を午前9時に出発し、午前10時30分に到着したので、全体で1時間30分（= 3/2時間）かかった。

学校からA地点までにかかった時間は$x/50$時間、A地点からB地点までにかかった時間は$z/90$時間、B地点から目的地までにかかった時間は$y/45$時間なので、

$\frac{x}{50} + \frac{z}{90} + \frac{y}{45} = \frac{3}{2}$

(3) A地点からB地点までを走行した時間に関する式を立てる。

A地点からB地点までを走行した時間は、全体でかかった時間の4/9倍なので、

$\frac{z}{90} = \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{2}{3}$

よって、$z = 90 \cdot \frac{2}{3} = 60$

(4) 上記(1)と(2)の式に、$z=60$を代入して、$x$と$y$についての連立方程式を立てる。

$x + 60 + y = 100$

$\frac{x}{50} + \frac{60}{90} + \frac{y}{45} = \frac{3}{2}$

上記の式を整理すると、

$x + y = 40$

$\frac{x}{50} + \frac{2}{3} + \frac{y}{45} = \frac{3}{2}$

$\frac{x}{50} + \frac{y}{45} = \frac{3}{2} - \frac{2}{3} = \frac{9 - 4}{6} = \frac{5}{6}$

$\frac{9x + 10y}{450} = \frac{5}{6}$

$9x + 10y = \frac{5}{6} \cdot 450 = 5 \cdot 75 = 375$

$x + y = 40$より、$y = 40 - x$。

$9x + 10(40 - x) = 375$

$9x + 400 - 10x = 375$

$-x = -25$

$x = 25$

$y = 40 - x = 40 - 25 = 15$

3. 最終的な答え

$x = 25$

$y = 15$